107：虚数不“虚”
读喜马拉雅作者：gezhong日期：2023-3-30点击：423
友情提示：本期节目是《原来是这样》开播以来涉及公式和计算最多的一期，广大文科生及还没进大学的朋友可选择性跳过其中的公式和计算，静静感受数学之美即可。而这期节目只想告诉大家一件事情——高中里那个虚无缥缈的“虚数”，其实一点都不“虚”！
友情提示，本期节目是原来是这样开播以来，涉及公示和计算最多的一期广大文科生及还没见大学的朋友，可选择性跳过其中的公式和计算，静静感受数学之美即可。
根据节目需要，状告人已将本期节目中主持人的数学能力进行了大幅提升，欢迎来到原来是这样，各位好，我是徐东，我是紫林。
今天这期节目，大家如果看到标题的话，就会觉得原来是这样，最近走偏了，嗯，打入了数学界，我们好像从来没有打入过数学界吧，因为比较难的，是吗？说白了，我们两个高考其实都是选文科的啊，对大学里还没上过高数的对，还要强行在这儿？
是你要强行在这儿说，你有什么资格可以在这儿说数学呢，可以直接说一下，今天节目咱们是有强力后援那哦，我们是有撰稿人的谁黑神，小黑同学哇，他是毕业于国内某top五高校的一位同学。
数学能力非常的强，有坚强的后盾了，所以我们敢和大家来聊数学了啊。今天其实要和大家聊的是从高中的时候我们就接触过。
但其实大家一直会不太明白这个东西，它到底是什么意思，嗯，怎么来的对虚数虚数听着就像是一个虚无缥缈的不在现实生活当中实际存在的这样的一个数字，是吧，对？
在高中的时候，老师就会觉得你也别管它到底存不存在会用就行了，你会算就行了，对吧，老师会说，你不要去研究背后的道理，对你只要会算老师告诉你的东西，你把它背出来就可以了。
但是今天，其实我们就想通过一整期的节目来告诉大家，叙述它不仅仅是一个概念，其实并不虚。
今天呢，我们将会以一个与中学里所学的不同的角度来引出叙述这个概念。
在正式介绍叙述之前呢，我们还是需要花一点时间来简单的回顾一下。
数字家族发展的历程，紫林，你先想想看，最早被人们所使用的是什么树，那应该就是一二三组这样整数对看着我们的手指，基本上就能想到整数这样一个概念啊，对准确的说呢，应该是正整数，也就是我们所说的自然数。嗯，人类最早当然就是用自然数来记述的。
那么在这个过程当中呢，进位制的发明，它具有里程碑式的意义，这就使得人们能够用有限个符号来表示任意一个自然数了。对啊，因为人是十个手指头嘛。所以说呢，原始人在计算东西数量的时候，最直接的方法就是掰自己的手指头，利用自己的手指一二三四啊。那么最早的进位制呢，也就是使劲制了哦，使劲致使这么来的当然是这样了，因为手指头不够了，所以就再进一个就哎，你看，这是一个人的手，用完了再用一个人手。
刚刚上来就有一个挺有意思的小指示，对，这就是十进制的来历啊。嗯，那自然数出现了以后哈再出现的应该是分数吗？对你想分数它就不是很自然了，对不对？对啊，我们有十个手指头，但是这分数是什么呢？
把一个手指头砍掉一半吗？
有点血腥啊。对，那么，随着人们对度量概念的增进啊，当体积重量等度量产生的时候，分数便应运而生了。嗯。
那个时候我们就会发现分数，它是有必要存在的，不仅仅是自然数了，最初的时候呢，分数是被看作整体或一个单位的一部分。
以后呢才在运算过程当中产生了分数，它表示的就是两个整数的商，这个其实在小学的时候我们就接触过啊。对，由此呢我们可以看到分数的一个来源就是一个数，它不能够整除另一个数的时候便产生了分数。哎，6/2，这个没有问题三对，但是3/2呢3/2就是一又1/2不是这个小学毕业了啊好呢。对，这里呢？作为中国人，咱们还是要强调一下的。九章算术呢，是世界上系统叙述分数最早的著作。
那么小数就是十进制分数，但是在欧洲啊，它其实很晚才被人们普遍接受这样点分数，中国人走在世界前面啊，但我觉得其实每一次往前走一步，应该都是有一个接受的过程，对，对吧？最开始的时候，人们其实接受分数也是很困难的，这凭啥有分数呢？
对吧，树不是很完整的吗？一个苹果2/3个苹果，现在我们能接受这个概念，对你之前你都没有这个重量概念的时候，你怎么去接受啊是？
那接受完了分数之后，应该就是复数了吧，就我们原来都觉得一个两个，咱们会-1个-，2个是什么意思呢？
其实啊，和我们通常人们所认识的相反，无理数的出现是要早于负数的，那怎么可能公元前五世纪的时候，希腊人在研究几何的时候，就发现边长唯一的正方形。
它的这个对角线的长度是不能够用整数或者是用两个整数之比来表示的啊。根号二。
对啊，那么，但是在当时呢，无理数他只能够用几何的方法加以处理，硬是把数和几何分开啊。当时并没有这个根号这个概念啊。那么直到1886年才有人证明。
每个无理数都能够表达成无限不循环的小数。这就给无理数做出了一个定义，包括我们现在最熟悉的派。
那就是典型的无理。数十九世纪后期呢，才建立了一个非常完整的，无理数的理论体系。哦，我刚才为什么说是复数呢？因为我记得我们以前学数学的这个过程啊，对，就接下来该学复数了，但没想到其实跟我们人类发现这些数字，或者说是创造出这些数字的，这个过程是不一样，没错啊。
我们学习的过程呢一般是由浅入深的，但实际上人类对数字的使用则是基于实践的。对前面你提到的复数就是<0的这个数，那么它的产生呢则是诞生于私有制社会上升的时期。
这个咱们怎么理解呢？这里要特别先说一下，因为我们后面将会详细的介绍虚数，而虚数通常是在负数，就是重复的负。
复述这个框架内所研究的那两个复述有对，因为我们在这个广播里边，大家为了区分方便啊，重复的负我们就叫它负数<0的这个数，我们就管它叫做<0的数正负的这个负呢，我们就把这个负数叫做<0的数了，也就是我们所说的正数的相反数称为<0的数啊。
现在呢，我们似乎对于<0的数感觉已经司空见惯了，对吧？对，这样很自然嘛，对吧？这个确实存在嘛。但事实上，人们接受它花了非常长的时间。其实也是啊，你说我们日常生活当中，你说啊，我吃了一个苹果，两个苹果啊，我能接受我吃了半个苹果，但是-1个苹果是什么鬼呢？古人接触起来的确很困难，对当债务行为开始出现的时候，人们才意识到负数它的确是存在的。是啊，对不对？我欠了你一个苹果啊，你欠我一个苹果啊，说好了。
中世纪的印度人第一次运用他来表示负债。
到了十五世纪末期，德国数学家引入正号和负号来进行表示，那么树的概念这一次呢就进行了大幅度的扩展，这一次扩展呢就和度量有方向的量，如进退增减。
密切联系着。嗯，这句话有一点儿深恶道的感觉啊。但是仔细想一想，我们相当于说画了一根横的轴，是吧？左边是<0的时候，右边是>0的，是对原来是一根射线，现在变成了一根直线。对，而且其实它代表了进退和增减这样的概念啊。
但是呢，这种<0的数，其实当时你想这都已经到十五世纪末期了，其实在学术界一直没有被普遍的接受。
到了十六世纪，正当欧洲数学家们还在纠结于小玉林的数，它到底算不算数的时候，又有一种新的树被卷进了争议的漩涡。谁这一次就让大家彻底毁三观了，那就是<0的树的平方根啊，也就引出了我们今天的主题叙述，那我们首先要问的就是，虚数究竟是怎么产生的呢？
我们熟悉平方的朋友，大家都知道啊，两个数的平方肯定是一个正数呀。对啊，那<0的数。
他的平方根到底是什么呢？好像回到了高中的课堂啊。
对我们来看一下叙述究竟是怎么产生的。
当时人们就在想什么数的平方，它会<0呢？
一五四五年的时候卡。当在寻找二次向系数为零的一元3次方程的解的过程当中，就发现由于<0的数开平方所产生的星数与实数一起用原有的法则进行运算是一致的。
而且如果引入这种心术，就会出现一个很美妙的现象，那就是一元n次方程，它有n个根这样一个非常圆满的结果。
你可能有点晕了，但我们在稍后也会提到。其实还记得在高中的时候，其实有一个很重要的概念就是一的立方根一的立方根，在实数范围内，它只有一个一还是一啊，对啊，但其实拓展到复数范围内，它是有三个解。
哦，对对对对对。就我们拓展到复数范围内，对拓展到复数范围以后，突然觉得数字的这个世界又大了很多，但你想立方它就变成三节了，对不对啊，这一的平方根是不是两姐。嗯，大家都觉得我很千巧，是不是其实我就听到这里啊。嗯，和我第一次听到叙述的时候，感觉是一样的，就是这好像是一个硬凑出来的概念呀，就是数学游戏啊，纸上谈兵啊，就为了他存在而存在啊，强行给他找一个解。
那么在一六三七年笛卡尔呢？
第一次给出了我们刚才说的这种概念，嗯，叙述这样一个名称，十八世纪的时候，大名鼎鼎的欧拉是提出了虚数单位的概念，并且他提出了一个非常著名的公式啊，那就是欧拉公式。欧拉公式是什么？其实大家应该在一些地方看到过，就是e的ix次方等于括桑in x，加上i乘以桑in x当x等于派时，也就是e的ipad次方加一=0。
那么它就将数学当中最重要的五个常数用简单的加法联系在一起了。我们来看一下E，然后上面写一个ipad，这就是e的ipad次方加上e之后竟然=0。 那么正因为他的这种奇妙的联系，很多人也觉得这是世界上最完美的一个共识。嗯，我觉得这期节目应该一边听，一边要记一下脾气。
实在是就这样单听啊，可能会有一点儿云里雾里，所以可以稍微纸上稍微写一下，大家可以来看一下这个公式没在哪儿，你想e是一个无理数，对不对？对它也是一个无理数对，还是个虚数单位对，但是通过计算以后哎。
再加个一，竟然桂林了，对，觉得很神奇吧。是啊，这其实是一个文科生都会惊叹于数学之美的公式，但是呢，在复述的几何表示发现以前虚数依然是给人一种虚无缥缈的感觉。嗯。
到了1806年，数学之王高斯提出应用平面上的点来对应负数，这才使得虚数有了直观的意义。
哎，并且呢，他就系统地建立了复述的理论。
和研究方法这样，人们才开始承认哦，虚数它并不虚。注意到了吗？我们其实提到了一个很重要的概念。
就是平面对，就像我们刚刚说到的正数自然数，它是一个射线，然后后来有了这个负数以后呢，就变成了一条直线对，然后可以两头延伸的，对吧？嗯，现在呢，我们就出现了一个平面，就又出现了一根轴。其实对，对吧？我们所说的那个虚轴对虚轴两个直线回到了我们当年四维的那个概念里啊，两个直线，它其实就确定了一个平面。对，那么这样一来呢，树的概念就从原来的一根轴一根线变成了一个平面。哎，那这样子给一个复数确定了一个坐标，这个对后来的理论产生了什么样的影响呢？嗯。
我们想象一下，有这样一条树轴啊，嗯，数轴上的一个点代表了什么，代表一个实数没错啊，这个原点。
就是零，对吧。对，我们取任何一个点，它总能代表一个数，对这个大家没有问题啊。那么在数轴上的一个正数与他的相反术之间的关系呢？
相反数应该还记得吧，就是一的相反数就是-1对它们位于原点的两侧，并且到原点的距离是相等的。
二就是-23就是-3距离是一样的，是对称的没错啊，这样理解当然是正确的，但是现在，其实我们不仅仅是在一根线上思考问题了。对。
如果说我们的目光不局限在数轴之上的话，那么一个数。
对应的点与原点的连线绕圆点旋转180度之后，是不是就落到了他相反数的位置上。对啊，哈哈。
但是这和平面上的点来对应负数有什么关系呢，我们想一想啊，绕原点旋转了180度之后变成相反数，那么如果说我们回到数学上，它是不是就相当于乘以-1。
对啊，那么如果我们假设旋转一个角度就相当于乘以一个数的话。嗯，这个其实我们后面会说这个假设它实际是成立的啊。我们把这个过程分成两步来进行。
那就是每一步旋转90度。那么是不是相当于乘以某一个数两次？
最终的效果跟乘以-1相同哦，我知道你的意思了，就是一乘以x就旋转的这个角度，是吧？一次90度嘛，一乘以x乘以x就等于-1。
对，那就是说这个数的平方等于-1，嗯哦，这个数的平方等于-1，那这个书是不是就是我们所说的爱了哦，那所以这个爱就有实际的意义了，是吗？对其实在虚数的概念当中，或者说是复数的这个概念当中其实很重要的一个思想就是旋转，嗯？
我觉得这一段可能还是需要我们慢慢的再来一遍啊，怕有的朋友可能没有跟上啊。想一想一，我们旋转了180度，嗯，绕着这个零旋转啊，绕着这个原点旋转180度，那就对应到了-1。那么这个过程我们可以理解为一乘以-1。
对吧对，那么乘以-1这个概念，我们可以把它和绕圆点旋转180度联系在一起。
这里要注意的是，一定是绕着原点旋转。
嗯，那么如果说我们要把这个步骤分成两次，我们旋转90度再旋转90度，那么旋转的概念就相当于乘一个数的话，那就得到了陈琳刚才说的。
一乘以x乘以x等于-1。
嗯，这个部分因为特别的重要，对吧。所以在节目开始之前呢，旭东已经给我画过一个轴，让我理解了一下这件事情。哈，其实我们就是画一个数轴，一个十轴，一个虚轴就是一个x轴，一个y轴，然后呢我们一个一一个-1，其实从一到-1是旋转了，180度是一个逆时针的旋转，大家可以画一下哈。
然后呢，如果是这样的一个动作，我们说它是-1的话，我们是可以把这个动作拆解成两步走对一步是逆时针，悬穿90度一步是再逆时针悬穿90度，那其实就是这两个相乘。
大家可以注意一下，逆时针绕圆点旋转90度之后，这个点落到了哪儿，是不是就在虚轴上的爱这个位置好，那么其实在平面上呢？
虚数的单位爱他就可以理解为一个90度，或者说是二分之派弧度的旋转因子。
记住这个概念听上去有些高等，实际上不难理解是吗？就是二分之派弧度的旋转因子，是吗？对。
并且我们要规定，刚才你也提到的是逆势人旋转的在复平面上乘以i就相当于绕原点，逆时针旋转90度。嗯，这个是我们需要给它一个规定的。
这里呢，我们还是需要顺便的提一下弧度的概念啊。这个可能有些朋友会比较陌生在一个圆上，如果弧长和这个圆的半径相等。
就是原上我们取一段嗯，这一段的长度和半径相等这一条弧，它对应的圆心的这个角就是一个弧度。这样一来呢，一个完整的圆周就是二派个弧度。
这是与360度相对应的。
其实呢，在数学和物理学上主要使用的是弧度的概念，这是为什么呢？因为弧度，它和实数是对应的。另外呢，我们从亮钢的角度来看。
弧度它是没有量钢的量钢是什么呢？
通俗点说就是单位。
哦，并不会觉得特别难。其实解释开来大家是能够接受的啊。您说说开来，比如说长度的单位米，时间的单位秒等等嗯。
那么在物理量的运算过程当中呢，量钢也是要参与到运算的，比如说两米乘以三米，那就是六平方米，对量钢相同，是物理量能够进行加法运算的一个先决条件。
这个你很容易就理解了，就是米加一秒是不能加的，对，就是一米，只能加两米，但不能加一秒对嗯，太阳气了。所以以后我也不跟别人说单位了，要说就说量刚是吧，对这个量钢不一样，不能加减。
高啊，但其实呢，轨道如果说是在工程应用上啊，因为角度会更加直观一些，所以使用的时候呢。
仍然用的是角度，这样的概念啊，就是弧度和角度相比。记得中学里啊，数学老师强调过说虚数是不能比较大小的，这是为什么呢？
树的大小其实也就是树的有序性，这其实很关键啊，那么实数它之所以可以比较大巧，说明实数它是有顺序的。
所谓的顺序呢就是指啊，我们认取三个实数，比如说abc，它要满足以下四个条件，第一呢就是对于两个不同的实数a和b. A小于b和a大于b。
有且仅有一个成立，对，这很好理解吧。
第二呢就是如果说a小于b且b小与c则b有a，小与c，对啊，那么第三点就是，如果说a小雨B，则对于任意实数c就有a加c小于B加c这样的一个成立对，那么第四就是如果说a小雨B，则对于任意的c>0就出现了AC小与bc对。
这个其实都很好理解啊，大家用笔一算，马上就能够接受，这就是树的一个比较大小，这好像也是小学的一个知识，最多就是初中前期的一个知识啊，具体搞不懂了，反正我能理解，就说明也并不是很大呀。 那么，如果我们假设虚数，它能够比较大小。
并且假设虚数单位爱它>0的话，那么根据第四个条件就出现了一个很诡异的现象，就是I乘上i大于i*0，这样一算你就知道了，就得到了一个-1>0的矛盾结果。嗯，也是基于此叙述呢，我们是。
不能规定大小的，那如果说我们假设叙述它是能够比较大小的，那能比较大小太阳就能和灵比是要大小，对不对？对，那我们先不知道这个虚数单位爱它到底是比零的还是比零小，我们就先假设它是>0的。
那么根据第四个条件，如果说a大于b，则a. C大于bc，对吧？因为我们说了这个C可以是作为一个>0的数。
嗯，这个时候其实我们就会发现，C也可以等于a，对不对，c和a其实是可以等啊。对，我们如果说c和a是相等的，那么我们就取了一个i。
对不对，那我们b就取为零？
嗯，那你就会发现哎，承上爱是不是按照我们这个前面的这个已知条件，它应该是大于i*0对对，那么i乘i等于多少就是负-1对，那么爱成零呢就是零-1>0吗啊，这样一说我就秒懂了呀。
对啊，所以虚数是不能够规定它的大小，那么其实呢，我们可以从另外一个角度去理解啊。
在引入虚数之前，人们所认识的实数呢都是在一维数轴上的点，而维度那期节目当中我们也提到过。
在一维空间当中只存在前后两个方向，那么在数轴上，一个点移动到另外一个点，就只能够朝着数轴的正方向运动，或者朝着数轴的负方向运动。嗯，对不对？
前者他就是增大，后者就是减小。还记得那只一味毛毛虫啊。 记得那么在引入虚数的概念之后呢。
竖系就从一维的竖轴扩充到了二维的负平面。嗯，在二维平面上从一个点移动到另外一个点。
它可以有无数条路径，对不对，那么其实这就无法定义增大或者是减小了。
另外呢，有很重要的一点，简单的和大家先说一下，那就是引入虚数之后某些函数，它在实数范围内没有的性质就会出现。嗯，看来引入虚数之后，不仅仅是壮大了数字佳作，还拓展了函数的性质啊。
可是到目前为止，你介绍的虚数好像都是在玩这个数字游戏啊，那它究竟有什么实用价值呢？
要说实用价值呢？其实最主要的是体现在了工程方面，那么基于虚数的这种旋转因子的思想。
那就会带来一个非常重要的方法叫。
对称分量法，那这是电工当中分析对称系统不对称运行状态的一种基本方法。
另外呢，积分变换的方法也是以复数为基础的，突然之间听懂了啊，积分变换用积分换什么东西。
呃，换就紫菱的签名照啊。可以呀，当然不是这个积分啊。 积分变化呢就是通过变量积分，将一个已知函数变为另外一个函数。
他在数学理论或者是应用当中呢，是一种非常有用的工具，那么最重要的积分变换就有复利液变换。
还有拉普拉斯变换。嗯，其实在信号分析当中呢，就是利用复利液变换将实信号表示成一系列的正弦函数的和而政贤函数呢，是被充分研究而相对简单的函数。
这个没问题，高中的时候就已经充分做过相关的训练了啊。
那么，电路分析当中引入电容？
电感与频率有关的虚步就可以方便地将电压电流的关系用简单的线性方程表示并且求解。另外呢，富利业变换在物理学，数论组合，数学概率，统计密码学，升学，光学等领域，其实都有了非常广泛的运用。 可以说，我们现在能够在这里给大家做节目，你在家里能够看电视上网都要感谢这个世子。
富立业虽然也姓富啊，但他不是我本家，他是法国人哦。
前面说了，那么那么那么多，我并不是所有的都听懂了，但是这些在我们的生活当中一直是在被运用着的。
对，这其实就是虚数，或者说是复数，它最重要的意义其实是一直在用，而且解决了非常多的实用问题啊。
那么，在大量的实际问题当中，描述他们的数学模型呢，往往是各个变量变化率之间的关系，也就是微分方程，比如说速度，它就是位置随时间的变化率。
电流是电荷量，随时间的变化率等等。
求解微分方程，它是非常繁琐的一个过程，还需要考虑初始条件等因素。
那么使用拉普拉斯变换呢就可以将常微分方程转化为代数方程来求解。
而更为神奇的就是他能够自动计入初始条件。 拉普拉斯变换是富利业变换的推广福利业变化呢，可以看作是虚轴上的拉普拉斯变换哦，催眠力气啊，今天已经不知道晕了多少次。
说说叙述在其他方面的应用吧。对，这个其实我觉得这是今天想带给大家的一个非常重要的思想啊，就是说。
前面说到了很多，其实是我们说方法上的问题。我们用叙述能够解决很多实际的问题，但是叙述在这个宇宙当中，它是不是一个存在的概念呢？
这个很有意思。嗯，有很多的物理理论，它是不需要虚数的。最经典的艾萨克，牛顿，它所建立的牛顿力学和詹姆斯，麦克斯韦集大成的电磁学。
直到十九世纪所形成的所有的物理学理论，它其实全部都不需要复数或者是虚数。这里的复数重复的复啊。
那么只在实数范围内就能够搞定一切。而爱因斯坦的相对论在使用了虚数以后，的确是变得更容易被人理解。但。
这并不是这个理论本身非要使用叙述不可爱因斯坦在1915年到1916年发表的广义相对论也是如此。即使没有叙述理论仍然成立到这里。其实虚数并没有参与到物理当中。 嗯，只是说它可以给物理提供了一种比较好的理解方法。
但是进入到20世纪之后是出现了，终于必须要使用叙述的物理理论，那就是量子力学。 我知道有很多朋友想听这个选题，已经想听了很久了啊，今天有限度的和大家先说一点儿。
因为今天的主题是叙述量子力学，它的一个重要的基本方程就是奥地利物理学家薛定谔所建立的薛定谔方程，而这个方程的开头就有一个虚数单位爱哦。这是一个描述物理世界现象的方程，他竟然用到了一个虚设的单位。 那么，根据量子力学在没有进行观测的时候，单个电子所在的位置是不确定的，这就是经典的不确定性原理。但是通过计算。
我们就可以知道有什么位置容易发现这个电子。这种概率分布呢是具有负数值的波函数，严格的来说应该是波函数绝对值的平方。
来表示利用量子力学的基本方程薛定谔方程呢，就可以求出波函数随时间的变化，这个方程当中，这个非常显眼的叙述单位爱其实就反映了这个客观世界的一些有意思的情况。嗯，事实上呢，量子力学可以说是一个没有虚数或负数就不能够成立的物理理论。
量子力学当中的理论是见机于富庶，遇上无限维的希尔伯特空间。 那么其实还有很多的例子啊，比如说一些分型。
比如朱莉亚级，它就是建立于复平面上的点。
那么，我们前面其实提到相对论，如果将时间变量视为虚数的话，便可以化简一些狭义和广义相对论当中的时空度量方程。
实际上呢，明可夫斯基空间就是利用真空光速乘以时间，再乘以虚数单位来描述第四个维度的等等等等，诸如此类吧。所以这么看来，虚数在物理学上应用的还是非常的广泛的。对啊，其实这里呢可以带出一个很有意思的思想，就是数学，它其实一直走在了物理的前面。先是数学发现了一个方法物理，它是为了探究这个世界的本质，世界本质的道理。
那么数学家找到了这样一种方法，或者说拓展了一个概念以后。
可能一时半会儿找不到在这个现实世界当中这样子的一种算法，这样的一个概念到底有什么用？
但是随着物理学的发展，就会发现诶数学家在之前找到的这种方法，他就可以描述客观世界的一些现象。嗯，那当然再展开。就是说，物理学其实现在一定程度上是走在了哲学的前面啊。
其实我们前面所说的这个复数是两个坐标的维度，我们可以看作是一个二元数。
就是把树从直线拓展到了二维，拓展到了一个平面上，实数我们可以理解为是一元数，那么其实数字家族还在继续的扩充。
在复数之后，其实还扩展出了比如四元数，八元数。嗯，你会发现其实上面四元还多了一些，我们已经开始无法想象和理解的轴了。
甚至是八元数，那么这些呢都是多元负数，但是数的这个维度拓展到这种程度之后呢，我们就必须抛弃乘法的交换规律了。考虑到大家的接受程度。
以及今天节目的篇幅，我们就先不展开了。嗯，原来是这样，就是这样感觉有点长舒一口气啊，就终于把这个嘛复杂的很多的公式啊很多的理论啊，说完了对吧。嗯，对。
那还是回回课，今天介绍叙述的这个最基本的思想是什么哦，我觉得是不是这样，就是说旋转就相当于乘以一个扶植为一的复数虚数i就是90度的一个旋转因子。 嗯，就是这个意思啊。其实最重要的一个概念，我觉得大家可以把。
虚数或者说i理解为一种旋转，哎，它就代表着逆时针旋转90度。
其实有了这样一个思想以后，我们就能够更好地去理解，叙述，或者说是复述这样一个概念了啊。
那么这里其实就要提到一点，大家会觉得可能听完今天的节目还是有点冰，尤其是后半部分非常高能的各种理论的部分啊。
特别晕对，但是我们凭什么说数字它就一定存在呢，一二三四五六七八九十。 嗯，这又上升到了另外一个高度，是吗？
是这样吧，大家可能会觉得相比于一二三四，五六，七八，九十-1-2-3-4夫夫六夫妻，甚至是派，甚至是根号。二虚数实在是太飘渺了。
嗯，太虚幻了，对，对吧？感觉它根本不应该存在，但是我们倒推一下，其实在早前大家会觉得复数<0的数是不可能存在的，嗯，它不该是存在的。
那么，再往前推，其实在我们人类还处在蒙昧时代的时候，数字它应不应该存在。
嗯，最初也没有哈对，其实没有数字这样的概念，它本身就是一个很抽象的概念。所以说我们去这样子理解这个世界的时候，我们就能够更好地去理解虚数的意义。
他也是描述这个世界行为的一种很基本的思想和方法。数学本身也是其实，因为今天的节目当中有太多太多的东西是我没有完全能够去理解的，但是站在我的角度去听这一期节目的话。
我会感觉以前在上数学课的时候，你觉得这只是一门学科，这些方程它只是一些方程式，但是你现在会发现数字的产生是为什么为了方便大家生活去计算啊，然后去记录一些生活当中的一些东西。
然后后面比如说你说到了？
在物理学当中，那些应用，所以这些虚数的出现，其实也是帮助我们去理解这个世界当中很多的运转是怎么一回事儿，对，对吧，工具一样对，所以为什么说数学它是一个很重要的工具呢。有了数学之后。
我们的现代世界很多，很多很多的事情才得以推动和运转。 其实熟悉徐东和紫陵的朋友一定知道啊。
我们今天的告诫，凭我们的能力是绝对完成不了的，因为它其实真的超高超到爆了，就是对有我们在大学阶段并没有学的高数的部分。
以及一些大学物理的东西啊，那我们今天再次要感谢一下，给我们提供这篇文案的小黑啊，谢谢小黑小黑其实是原样的一个忠实粉丝了啊，这个在我们还在说银河系的时候，我就知道他已经在听我们的节目。
哇塞这么厉害的人，这已经是他听我们的节目，会不会觉得太简？
但啊，他很认真的在听啊，而且特别喜欢这个节目啊，好谦虚哦想，嘿嘿，就是特别感动，有这样的这个听众也一直在帮我们的忙呢，他也是我们原样刀友会的一名黑洞啊，这黑洞就相当于是管理员啊，它是在原样刀友会的这个天狼群当中，大家想要去摩拜黑神有各种跟物理相关的跟高树相关的问题，也可以认给它。
他也非常的善于帮大家解答这些问题啊啊，总之，黑神是我的一个偶像的数学，实在是太好了。 哦，是吗？就是你是他的偶像，他也是你的偶像，你们互为偶像哇，用得着这样吗？
大家会发现今天的节目，其实在最后，我们提到了一部分量子的东西。其实大家如果说想要急着去听我们描述量子世界，我可以给大家描述一些现象，但如果大家要明白它真正的思想的话，还是得从数学开始。
这是离不开的，而量子其实跟虚数有着千丝万缕的关系啊。
说一下我们节目的广告啊，欢迎大家继续到我们的几个互动平台。
紫林的微博是嘿嘿，先说我的啊，紫凌铃，孩子的紫凌晨的铃。
嗯，现在都叫孩子的子了，原来是子时的子，我一直是这么说啊，有了孩子就是不一样。紫玲玲欢迎到那儿去围观这个辣妈以及辣妈的宝宝。嗯啊花花啊。
那么我的微博就是徐东东市上面山下面东还可以到我们的几个大家交流的平台，比如说百度贴吧，叙东刀科学或者原来是这样，其实也可以啊。另外呢，在微信公众号搜叙东刀科学，如果说大家想跟我们有更广泛的互动，或者说可以跟我们有一些直接的交流的。
推荐大家加入原样刀友会搜原样刀友会这个qq群现在能加入的是北极群？
北极群也有将近800位，小伙伴在里边聊天了啊。欢迎大家跟我们交流，把你对节目的想法，或者说你对节目的文案有一些什么样的想法。你是一个某一知识领域的达人，就都可以参与到我们的节目当中。对，就是不只是可以来收听节目，大家也可以把你们所擅长的这部分的知识分享给更多的朋友。 对，那么原养，其实希望不是我们个人的节目，而是一个大家交流的平台啊。 好了，本周的，原来实际上就是这样，我是徐东，我是紫林。
代表本次节目的撰稿人小黑再一次感谢大家的收听，下周再见，拜拜。
可是是我们的健身几个瞬间，你知道吗？
哎哟啊。
+36，它的这个对角线的程度是不能够用整数或者是用两个整数之笔来表示的。 嗯，你应该知道这个答案是多少吧。
不吃？
另外呢，我们从亮钢的角度来看弧度，他是没有亮钢的，我觉得太难了，亮钢是什么呢，那么如果将x=2分之派代入，会得到什么可散引二分之派是零Sign，二分之派是一，所以e的二分之ipad次方就是虚数单位i。
那这和旋转又有什么关系呢，你们真的信了吗？
信我，这是我自己算出来的吗？
那么最重要的积分变换就有复利液变换，还有拉普拉斯变换。嗯，瞬间觉得我们像两个呃，理科生了啊嗯。
福利业变化说拉普拉斯变化是太洋气了。福利业变化，友情提示，这是一个额外额外的既是正天又是彩蛋的彩蛋，考虑到节目的完整性。
以及大部分听众对于公式和数学的接受程度，其实我们的正篇部分足足删去了十五分钟的内容。
那么在今天节目的结尾，我们就把这十五分钟完整的呈现给大家。
我们即将听到的第一段内容呢是出现在节目的第十八分40秒左右，在紫陵问虚数是不能比较大小的这个问题之前这一段有七分钟的时间。
哎，那回到之前的问题，哈虚数单位的引入是基于前面那个旋转，一个角度相当于乘以一个数的假设。
但是这是一个假设。哎，对，那这个假设真的成立吗？
这个假设它其实是成立的啊。
这里我们要友情提醒后边儿是涉及到大量的公式计算了啊，大家可以更多的来感受这个思想，如果说有兴趣的可以跟着一块儿来算啊啊。那么回到我们刚才提到的最重要的欧拉公式上，e的ix次方等于costa x，加上i乘以sign x。
这个公式呢可以用泰勒公式进行证明，那么如果将x四=2分之派代入，会得到什么呢？可萨影二分之派是零Sign，二分之派是一，所以e的二分之ipad次方就是虚数单位i。
根据剧本需要，我需要感叹一下子林同学，你的数学基础真心扎实啊，这不是为了节目需要强行提升了吗？嗯。
我懂的啊。那么平面上一个点绕原点旋转的过程，就是该点与原点的连线跟坐标轴夹角的改变的过程。
这个你能理解吗，平面上的一个点绕原点旋转的过程，我们就想一个最简单的就是中面这个中在走啊，他绕着中间那个原点旋转的这个过程是不是可以理解为这个点和原点的，这个连线就是中的这根指针。比如说我们和我理解了他的这个夹角在改变的过程，对并且e的ix次方和e的Iy次方相乘的结果，那就是e的i乘以x加y次方。
啊，也就是说当底数为亿的时候，指数上叙述单位i的系数就是那个旋转的弧度值咯，没错，就是这样，那其实呢，回到咱们中学里学的复数啊，都是表示成十步。
加上虚数单位爱乘以虚步的形式，对不对一个括号里边一个实数，然后后面一个虚数。
其实从欧拉公式当中我们就可以发现复数啊，它还可以表示成指数的形式，嗯，也就是说e的ix次方乘以a的形式。
这里的a呢就是负数的符值，那么这个扶植是什么意思呢？它代表的就是它在平面上对应的点和原点的连线程度。嗯，可以理解为中的这个指针的程度是啊，x？
就称为负数的扶脚，这个也很好理解，就是原点指向该负数对应的点，它的矢量方向与十轴正方向所成角的弧度啊，这个我记得啊，那么负数的幅值呢。
它是一个不<0的实数，而扶脚可以取一切实数，你发现嘛，到这儿跟虚数就没关系了。哎，这里注意啊。
符值的符是符度的符毛巾的筋，金字旁而辐角的辐呢是辐射的辐一个车子胖，对啊。
但是这样感觉也还是没有什么用啊，它具体的用处在哪儿呢？对于负数的加减运算而言，确实用实步和虚步的表示更加的简便。对这个其实大家在高中的时候学复述的时候做它的加减法算起来都很快，因为很简单。
两个负数的乘法运算结果，其实呢就是他们的扶植相乘扶脚相加，同样的两个负数的除法运算呢，就是他们的扶植相处。
五，扶脚相减其实更实用的就是体现在指数运算上一个负数的n次方的结果。
他的扶植为他自身扶植的n次方扶脚，为他自身扶脚的恩贝。
一个复数的n次，方根的结果，扶植为它自身扶植的n次方根扶脚为它自身扶脚的n分之一倍。
是不是算起来超easy，嗯，这也就得到了负数的平方根乃至多次方根的计算方法了，是不是的啊。
那么，你现在能否算一下叙述单位爱它的平方根是什么？紫林要开快咯啊。 叙述单位的i的扶持为一浮角，为90度及二分之派。
开平方就相当于1/2次方，那么结果的复制还是一扶脚就是四分之派，也就是二分之根号。二，加上i乘以二分之根号二嗯，开挂之后，紫林同学的计算能力真的暴贬。
但是你有没有发现你刚才得到了这个结果，诚意-1，它的平方也是叙述单位爱呢啊，对啊，因为-1的平方就是一呀。
那漏掉的那个根是怎么出现的呢？嗯，其实你忽略了一点呢，就是正弦函数和余弦函数都是以二派为周期的，也就是说e的ix次方语E的i乘以x+2派次方是相等的。
那么在对负数求n次方根的时候呢，就需要在扶脚上加上二k派，这个k呢是一个整数虚数单位爱的扶脚就是二分之派加二k派。
扶脚的一半就是四分之派，加k派当k是偶数的时候，就是你刚才得到的那个结果，而k是基数的时候，就是你刚才漏掉的那个结果了。哦，原来是这样，不得不说一下，我们俩其实都开了罐子。 那么，由于同一个负数的浮角可以相差二派的整数倍。
那么人们呢就将大于负派小于等于派的扶脚，直称为扶脚的主持。
而引入虚数之后，某些函数它在实数范围内没有的性质就会出现。比如说呢？
我们举两个例子啊，第一呢，就是正弦函数和余弦函数的绝对值，它不一定就小于=1了。嗯，利用欧拉公式呢就可以求得cocing x等于e的ix次方加上e的负ix次方再除以二。
那么赛音x等于e的ix次方减去e的负ix次方再除以二哀正弦函数和余弦函数的指数形式呢，是具有双曲函数的性质，这就将三角函数与双曲函数建立了一个联系，这样就可以求得什么呢，就是叙述单位爱的于贤=1+1/1。
再除以二，那么这是一个约等于1.543的实术。哦，太神奇了，虚数的鱼弦竟然是实术啊。对另外一个例子呢，就是非正数也可以进行对数运算了。
任何一个复数在表示为指数形式之后，很容易看出对他取自然对数的结果的十步，就是该负数的自然对数值。
虚步就是该负数的浮角。 复数的对数呢是一个多值函数，它的主值呢就是浮角区主值时的数值。
零的对数就是无穷大，有机会的话，我们还可以给大家再讲一下，无穷大，其实它也非常的神奇。
嗯，看来引入虚数之后，不仅仅是壮大了数字家族，还拓展了函数的性质啊。
而接下来大家听到的这一段呢，则是在22分40秒左右，当虚数无法比较大小，这个问题解释完了之后，我们又删去了八分多钟的内容，友情提醒这一段真心真心的高能嗯，看来引入虚数之后，不仅仅是壮大了数字佳作，还拓展了函数的性质啊。
可是到目前为止，你介绍的虚数好像都是在玩这个数字游戏啊，那它究竟有什么实用价值呢？嗯。
这个其实我们前面就说了啊，中学理学虚数的时候就提到了两个重要的虚数，你还记得是什么吗？一的地方干？对。
刚才说了嘛，对吧。那么一个是石树根，就是它本身还有两个虚数根1/-2加减i乘以二分之根号三，那么现在我们就可以知道两个虚数根呢。
分别就是120度旋转因子和240度宣传因子。
两者呢，都是对方的平方，那有什么用呢？这个其实大家可以画一画，我们就可以知道这个概念了，就是说一的立方根其实就是旋转三次的一个结果，如果大家听的还是有点儿晕的话，回到我们前面推海里的时候的那次旋转，我们想象一的立方根，其实他就旋转出了一个类似于奔驰的那个品牌logo的那个形象，一个人字形。
啊，对，这个还是得说一下后边儿比较高能啊，大家选择性收听啊，我们认取三个复数ab. C，现在呢，我们来计算三个星数。
首先把这个数相加之后除以三，也就是说取它的算术平均数，我们记为s零把B逆时针旋转120度C顺时针旋转120度，将这两个旋转后的结果和a相加，咱们再除以。
三得到的结果呢，即为s一。
我们再把b顺时针旋转120度C逆时针旋转120度，将两个旋转后的结果和a相加再除以三我们得到的结果呢，G为s二，然后呢，我们就让a零等于b零等于C零，等于s零a一等于s一B一为s一，顺时针旋转120度C一为s一逆时针旋转120度。
A二等于s二b二为S二逆时针旋转120度C二为s二，顺时针旋转120度。突然有一种下午在上数学课的感觉。
是不是觉得我想睡这没关系啊，数学基础好的朋友可以来听一下啊。那么这样呢，我们其实就得到了三组复数a一顺势征旋转120度就得到了B一b一顺时针旋转120度，就得到了c一C一顺时针旋转120度又得到了A一a二逆水蒸旋转，120度得到b二。
B二逆势侦询专120度得到c二C二逆时针旋转120度又得到了A二哎转转转又转回去了啊。而a零b零和c零是三个相等的负数，而且有A等于a1加a2加a零B等于b1加b2加b零和c等于c1加c2加c零，那这就是以a为基准的对称分量法展开。
A一b一和c一称为正序分量A二，b二和c二称为复序分量a零B零和c零称为零序分量。是不是觉得赢高大上道不行了啊，请自己没有学高数啊，竟然用到了分量啊。
那么，对称分量法呢，其实是电工当中分析对称系统不对称运行状态的一种基本方法。另外呢？
积分变换的方法也是以复数为基础的。哇，突然之间听懂了啊，积分变换用积分换什么东西。
呃，换就紫菱的签名照啊。可以呀，当然不是这个积分啊。 积分变化呢就是通过变量积分将一个已知函数变为另外一个函数。
他在数学理论或者是应用当中呢，是一种非常有用的工具，那么最重要的积分变换就有复利液变换。
还有拉普拉斯变换，拉普拉斯变换是富利业变换的推广福利业变换呢，可以看作是虚轴上的拉普拉斯变换。
另外呢，当一个信号通过一个线性系统的时候，系统输出的信号是输入信号与系统特性函数的卷积卷积卷鸡是什么，我只知道鸡衣卷鸡肉卷好像关系不是特别大啊，即使这个积分的积啊啊呃。卷积呢可以看作是一个函数逐步与另外一个函数发生作用的过程。
其实这个名字就起得很形象，你可以理解吗，就逐步逐步发生一些影响卷在一块儿了，你可以这样子去理解啊。
那么卷积呢？它的计算非常非常的繁琐，但是两个函数卷积的拉普拉斯变换，就等于这两个函数的拉普拉斯变换的乘机。
这样一来呢，使用拉普达斯变化也可以直接的将卷积运算变成乘法运算。 哇，这么霸气对就特别高冷的东西，变成中学生都能够使用掌握的东西。
那么，在系统分析当中呢，系统常常通过拉普拉斯变换，从食欲变换到频率，因此呢，它可以在复平面上分析系统的极点。
这个极点呢就是系统传递函数为无穷大的点，还有零点，那就是系统传递函数为零的点。
那么所谓的传递函数呢就是输出信号的拉普拉斯变换和输入信号的拉普拉斯变换的比值，也就是刚才所说的系统特性函数的拉普拉斯变换分析系统稳定性的几种方法呢，都是在复评院上进行的。所谓的稳定性是指系统在输入信号为有限值的情况下，输出的信号仍然为有限值。 那么如果系统有几点位于右半平面，则系统不稳定？
所有几点都位于左半平面，则系统稳定，有几点位于虚轴上，则系统为临界稳定的，那么如果系统的全部零点都位于右半平面，那么则这是个最小相位系统。
如果系统的极点和零点关于虚轴对称，那这就是一个全通系统啊，催眠力气啊，今天已经不知道晕了多少次了。
好了，无论你听完这一段是睡着还是没睡着，总之祝你好梦了。
友情提示，本期节目是原来是这样开播以来，涉及公示和计算最多的一期广大文科生及还没见大学的朋友，可选择性跳过其中的公式和计算，静静感受数学之美即可。
根据节目需要，状告人已将本期节目中主持人的数学能力进行了大幅提升，欢迎来到原来是这样，各位好，我是徐东，我是紫林。
今天这期节目，大家如果看到标题的话，就会觉得原来是这样，最近走偏了，嗯，打入了数学界，我们好像从来没有打入过数学界吧，因为比较难的，是吗？说白了，我们两个高考其实都是选文科的啊，对大学里还没上过高数的对，还要强行在这儿？
是你要强行在这儿说，你有什么资格可以在这儿说数学呢，可以直接说一下，今天节目咱们是有强力后援那哦，我们是有撰稿人的谁黑神，小黑同学哇，他是毕业于国内某top五高校的一位同学。
数学能力非常的强，有坚强的后盾了，所以我们敢和大家来聊数学了啊。今天其实要和大家聊的是从高中的时候我们就接触过。
但其实大家一直会不太明白这个东西，它到底是什么意思，嗯，怎么来的对虚数虚数听着就像是一个虚无缥缈的不在现实生活当中实际存在的这样的一个数字，是吧，对？
在高中的时候，老师就会觉得你也别管它到底存不存在会用就行了，你会算就行了，对吧，老师会说，你不要去研究背后的道理，对你只要会算老师告诉你的东西，你把它背出来就可以了。
但是今天，其实我们就想通过一整期的节目来告诉大家，叙述它不仅仅是一个概念，其实并不虚。
今天呢，我们将会以一个与中学里所学的不同的角度来引出叙述这个概念。
在正式介绍叙述之前呢，我们还是需要花一点时间来简单的回顾一下。
数字家族发展的历程，紫林，你先想想看，最早被人们所使用的是什么树，那应该就是一二三组这样整数对看着我们的手指，基本上就能想到整数这样一个概念啊，对准确的说呢，应该是正整数，也就是我们所说的自然数。嗯，人类最早当然就是用自然数来记述的。
那么在这个过程当中呢，进位制的发明，它具有里程碑式的意义，这就使得人们能够用有限个符号来表示任意一个自然数了。对啊，因为人是十个手指头嘛。所以说呢，原始人在计算东西数量的时候，最直接的方法就是掰自己的手指头，利用自己的手指一二三四啊。那么最早的进位制呢，也就是使劲制了哦，使劲致使这么来的当然是这样了，因为手指头不够了，所以就再进一个就哎，你看，这是一个人的手，用完了再用一个人手。
刚刚上来就有一个挺有意思的小指示，对，这就是十进制的来历啊。嗯，那自然数出现了以后哈再出现的应该是分数吗？对你想分数它就不是很自然了，对不对？对啊，我们有十个手指头，但是这分数是什么呢？
把一个手指头砍掉一半吗？
有点血腥啊。对，那么，随着人们对度量概念的增进啊，当体积重量等度量产生的时候，分数便应运而生了。嗯。
那个时候我们就会发现分数，它是有必要存在的，不仅仅是自然数了，最初的时候呢，分数是被看作整体或一个单位的一部分。
以后呢才在运算过程当中产生了分数，它表示的就是两个整数的商，这个其实在小学的时候我们就接触过啊。对，由此呢我们可以看到分数的一个来源就是一个数，它不能够整除另一个数的时候便产生了分数。哎，6/2，这个没有问题三对，但是3/2呢3/2就是一又1/2不是这个小学毕业了啊好呢。对，这里呢？作为中国人，咱们还是要强调一下的。九章算术呢，是世界上系统叙述分数最早的著作。
那么小数就是十进制分数，但是在欧洲啊，它其实很晚才被人们普遍接受这样点分数，中国人走在世界前面啊，但我觉得其实每一次往前走一步，应该都是有一个接受的过程，对，对吧？最开始的时候，人们其实接受分数也是很困难的，这凭啥有分数呢？
对吧，树不是很完整的吗？一个苹果2/3个苹果，现在我们能接受这个概念，对你之前你都没有这个重量概念的时候，你怎么去接受啊是？
那接受完了分数之后，应该就是复数了吧，就我们原来都觉得一个两个，咱们会-1个-，2个是什么意思呢？
其实啊，和我们通常人们所认识的相反，无理数的出现是要早于负数的，那怎么可能公元前五世纪的时候，希腊人在研究几何的时候，就发现边长唯一的正方形。
它的这个对角线的长度是不能够用整数或者是用两个整数之比来表示的啊。根号二。
对啊，那么，但是在当时呢，无理数他只能够用几何的方法加以处理，硬是把数和几何分开啊。当时并没有这个根号这个概念啊。那么直到1886年才有人证明。
每个无理数都能够表达成无限不循环的小数。这就给无理数做出了一个定义，包括我们现在最熟悉的派。
那就是典型的无理。数十九世纪后期呢，才建立了一个非常完整的，无理数的理论体系。哦，我刚才为什么说是复数呢？因为我记得我们以前学数学的这个过程啊，对，就接下来该学复数了，但没想到其实跟我们人类发现这些数字，或者说是创造出这些数字的，这个过程是不一样，没错啊。
我们学习的过程呢一般是由浅入深的，但实际上人类对数字的使用则是基于实践的。对前面你提到的复数就是<0的这个数，那么它的产生呢则是诞生于私有制社会上升的时期。
这个咱们怎么理解呢？这里要特别先说一下，因为我们后面将会详细的介绍虚数，而虚数通常是在负数，就是重复的负。
复述这个框架内所研究的那两个复述有对，因为我们在这个广播里边，大家为了区分方便啊，重复的负我们就叫它负数<0的这个数，我们就管它叫做<0的数正负的这个负呢，我们就把这个负数叫做<0的数了，也就是我们所说的正数的相反数称为<0的数啊。
现在呢，我们似乎对于<0的数感觉已经司空见惯了，对吧？对，这样很自然嘛，对吧？这个确实存在嘛。但事实上，人们接受它花了非常长的时间。其实也是啊，你说我们日常生活当中，你说啊，我吃了一个苹果，两个苹果啊，我能接受我吃了半个苹果，但是-1个苹果是什么鬼呢？古人接触起来的确很困难，对当债务行为开始出现的时候，人们才意识到负数它的确是存在的。是啊，对不对？我欠了你一个苹果啊，你欠我一个苹果啊，说好了。
中世纪的印度人第一次运用他来表示负债。
到了十五世纪末期，德国数学家引入正号和负号来进行表示，那么树的概念这一次呢就进行了大幅度的扩展，这一次扩展呢就和度量有方向的量，如进退增减。
密切联系着。嗯，这句话有一点儿深恶道的感觉啊。但是仔细想一想，我们相当于说画了一根横的轴，是吧？左边是<0的时候，右边是>0的，是对原来是一根射线，现在变成了一根直线。对，而且其实它代表了进退和增减这样的概念啊。
但是呢，这种<0的数，其实当时你想这都已经到十五世纪末期了，其实在学术界一直没有被普遍的接受。
到了十六世纪，正当欧洲数学家们还在纠结于小玉林的数，它到底算不算数的时候，又有一种新的树被卷进了争议的漩涡。谁这一次就让大家彻底毁三观了，那就是<0的树的平方根啊，也就引出了我们今天的主题叙述，那我们首先要问的就是，虚数究竟是怎么产生的呢？
我们熟悉平方的朋友，大家都知道啊，两个数的平方肯定是一个正数呀。对啊，那<0的数。
他的平方根到底是什么呢？好像回到了高中的课堂啊。
对我们来看一下叙述究竟是怎么产生的。
当时人们就在想什么数的平方，它会<0呢？
一五四五年的时候卡。当在寻找二次向系数为零的一元3次方程的解的过程当中，就发现由于<0的数开平方所产生的星数与实数一起用原有的法则进行运算是一致的。
而且如果引入这种心术，就会出现一个很美妙的现象，那就是一元n次方程，它有n个根这样一个非常圆满的结果。
你可能有点晕了，但我们在稍后也会提到。其实还记得在高中的时候，其实有一个很重要的概念就是一的立方根一的立方根，在实数范围内，它只有一个一还是一啊，对啊，但其实拓展到复数范围内，它是有三个解。
哦，对对对对对。就我们拓展到复数范围内，对拓展到复数范围以后，突然觉得数字的这个世界又大了很多，但你想立方它就变成三节了，对不对啊，这一的平方根是不是两姐。嗯，大家都觉得我很千巧，是不是其实我就听到这里啊。嗯，和我第一次听到叙述的时候，感觉是一样的，就是这好像是一个硬凑出来的概念呀，就是数学游戏啊，纸上谈兵啊，就为了他存在而存在啊，强行给他找一个解。
那么在一六三七年笛卡尔呢？
第一次给出了我们刚才说的这种概念，嗯，叙述这样一个名称，十八世纪的时候，大名鼎鼎的欧拉是提出了虚数单位的概念，并且他提出了一个非常著名的公式啊，那就是欧拉公式。欧拉公式是什么？其实大家应该在一些地方看到过，就是e的ix次方等于括桑in x，加上i乘以桑in x当x等于派时，也就是e的ipad次方加一=0。
那么它就将数学当中最重要的五个常数用简单的加法联系在一起了。我们来看一下E，然后上面写一个ipad，这就是e的ipad次方加上e之后竟然=0。 那么正因为他的这种奇妙的联系，很多人也觉得这是世界上最完美的一个共识。嗯，我觉得这期节目应该一边听，一边要记一下脾气。
实在是就这样单听啊，可能会有一点儿云里雾里，所以可以稍微纸上稍微写一下，大家可以来看一下这个公式没在哪儿，你想e是一个无理数，对不对？对它也是一个无理数对，还是个虚数单位对，但是通过计算以后哎。
再加个一，竟然桂林了，对，觉得很神奇吧。是啊，这其实是一个文科生都会惊叹于数学之美的公式，但是呢，在复述的几何表示发现以前虚数依然是给人一种虚无缥缈的感觉。嗯。
到了1806年，数学之王高斯提出应用平面上的点来对应负数，这才使得虚数有了直观的意义。
哎，并且呢，他就系统地建立了复述的理论。
和研究方法这样，人们才开始承认哦，虚数它并不虚。注意到了吗？我们其实提到了一个很重要的概念。
就是平面对，就像我们刚刚说到的正数自然数，它是一个射线，然后后来有了这个负数以后呢，就变成了一条直线对，然后可以两头延伸的，对吧？嗯，现在呢，我们就出现了一个平面，就又出现了一根轴。其实对，对吧？我们所说的那个虚轴对虚轴两个直线回到了我们当年四维的那个概念里啊，两个直线，它其实就确定了一个平面。对，那么这样一来呢，树的概念就从原来的一根轴一根线变成了一个平面。哎，那这样子给一个复数确定了一个坐标，这个对后来的理论产生了什么样的影响呢？嗯。
我们想象一下，有这样一条树轴啊，嗯，数轴上的一个点代表了什么，代表一个实数没错啊，这个原点。
就是零，对吧。对，我们取任何一个点，它总能代表一个数，对这个大家没有问题啊。那么在数轴上的一个正数与他的相反术之间的关系呢？
相反数应该还记得吧，就是一的相反数就是-1对它们位于原点的两侧，并且到原点的距离是相等的。
二就是-23就是-3距离是一样的，是对称的没错啊，这样理解当然是正确的，但是现在，其实我们不仅仅是在一根线上思考问题了。对。
如果说我们的目光不局限在数轴之上的话，那么一个数。
对应的点与原点的连线绕圆点旋转180度之后，是不是就落到了他相反数的位置上。对啊，哈哈。
但是这和平面上的点来对应负数有什么关系呢，我们想一想啊，绕原点旋转了180度之后变成相反数，那么如果说我们回到数学上，它是不是就相当于乘以-1。
对啊，那么如果我们假设旋转一个角度就相当于乘以一个数的话。嗯，这个其实我们后面会说这个假设它实际是成立的啊。我们把这个过程分成两步来进行。
那就是每一步旋转90度。那么是不是相当于乘以某一个数两次？
最终的效果跟乘以-1相同哦，我知道你的意思了，就是一乘以x就旋转的这个角度，是吧？一次90度嘛，一乘以x乘以x就等于-1。
对，那就是说这个数的平方等于-1，嗯哦，这个数的平方等于-1，那这个书是不是就是我们所说的爱了哦，那所以这个爱就有实际的意义了，是吗？对其实在虚数的概念当中，或者说是复数的这个概念当中其实很重要的一个思想就是旋转，嗯？
我觉得这一段可能还是需要我们慢慢的再来一遍啊，怕有的朋友可能没有跟上啊。想一想一，我们旋转了180度，嗯，绕着这个零旋转啊，绕着这个原点旋转180度，那就对应到了-1。那么这个过程我们可以理解为一乘以-1。
对吧对，那么乘以-1这个概念，我们可以把它和绕圆点旋转180度联系在一起。
这里要注意的是，一定是绕着原点旋转。
嗯，那么如果说我们要把这个步骤分成两次，我们旋转90度再旋转90度，那么旋转的概念就相当于乘一个数的话，那就得到了陈琳刚才说的。
一乘以x乘以x等于-1。
嗯，这个部分因为特别的重要，对吧。所以在节目开始之前呢，旭东已经给我画过一个轴，让我理解了一下这件事情。哈，其实我们就是画一个数轴，一个十轴，一个虚轴就是一个x轴，一个y轴，然后呢我们一个一一个-1，其实从一到-1是旋转了，180度是一个逆时针的旋转，大家可以画一下哈。
然后呢，如果是这样的一个动作，我们说它是-1的话，我们是可以把这个动作拆解成两步走对一步是逆时针，悬穿90度一步是再逆时针悬穿90度，那其实就是这两个相乘。
大家可以注意一下，逆时针绕圆点旋转90度之后，这个点落到了哪儿，是不是就在虚轴上的爱这个位置好，那么其实在平面上呢？
虚数的单位爱他就可以理解为一个90度，或者说是二分之派弧度的旋转因子。
记住这个概念听上去有些高等，实际上不难理解是吗？就是二分之派弧度的旋转因子，是吗？对。
并且我们要规定，刚才你也提到的是逆势人旋转的在复平面上乘以i就相当于绕原点，逆时针旋转90度。嗯，这个是我们需要给它一个规定的。
这里呢，我们还是需要顺便的提一下弧度的概念啊。这个可能有些朋友会比较陌生在一个圆上，如果弧长和这个圆的半径相等。
就是原上我们取一段嗯，这一段的长度和半径相等这一条弧，它对应的圆心的这个角就是一个弧度。这样一来呢，一个完整的圆周就是二派个弧度。
这是与360度相对应的。
其实呢，在数学和物理学上主要使用的是弧度的概念，这是为什么呢？因为弧度，它和实数是对应的。另外呢，我们从亮钢的角度来看。
弧度它是没有量钢的量钢是什么呢？
通俗点说就是单位。
哦，并不会觉得特别难。其实解释开来大家是能够接受的啊。您说说开来，比如说长度的单位米，时间的单位秒等等嗯。
那么在物理量的运算过程当中呢，量钢也是要参与到运算的，比如说两米乘以三米，那就是六平方米，对量钢相同，是物理量能够进行加法运算的一个先决条件。
这个你很容易就理解了，就是米加一秒是不能加的，对，就是一米，只能加两米，但不能加一秒对嗯，太阳气了。所以以后我也不跟别人说单位了，要说就说量刚是吧，对这个量钢不一样，不能加减。
高啊，但其实呢，轨道如果说是在工程应用上啊，因为角度会更加直观一些，所以使用的时候呢。
仍然用的是角度，这样的概念啊，就是弧度和角度相比。记得中学里啊，数学老师强调过说虚数是不能比较大小的，这是为什么呢？
树的大小其实也就是树的有序性，这其实很关键啊，那么实数它之所以可以比较大巧，说明实数它是有顺序的。
所谓的顺序呢就是指啊，我们认取三个实数，比如说abc，它要满足以下四个条件，第一呢就是对于两个不同的实数a和b. A小于b和a大于b。
有且仅有一个成立，对，这很好理解吧。
第二呢就是如果说a小于b且b小与c则b有a，小与c，对啊，那么第三点就是，如果说a小雨B，则对于任意实数c就有a加c小于B加c这样的一个成立对，那么第四就是如果说a小雨B，则对于任意的c>0就出现了AC小与bc对。
这个其实都很好理解啊，大家用笔一算，马上就能够接受，这就是树的一个比较大小，这好像也是小学的一个知识，最多就是初中前期的一个知识啊，具体搞不懂了，反正我能理解，就说明也并不是很大呀。 那么，如果我们假设虚数，它能够比较大小。
并且假设虚数单位爱它>0的话，那么根据第四个条件就出现了一个很诡异的现象，就是I乘上i大于i*0，这样一算你就知道了，就得到了一个-1>0的矛盾结果。嗯，也是基于此叙述呢，我们是。
不能规定大小的，那如果说我们假设叙述它是能够比较大小的，那能比较大小太阳就能和灵比是要大小，对不对？对，那我们先不知道这个虚数单位爱它到底是比零的还是比零小，我们就先假设它是>0的。
那么根据第四个条件，如果说a大于b，则a. C大于bc，对吧？因为我们说了这个C可以是作为一个>0的数。
嗯，这个时候其实我们就会发现，C也可以等于a，对不对，c和a其实是可以等啊。对，我们如果说c和a是相等的，那么我们就取了一个i。
对不对，那我们b就取为零？
嗯，那你就会发现哎，承上爱是不是按照我们这个前面的这个已知条件，它应该是大于i*0对对，那么i乘i等于多少就是负-1对，那么爱成零呢就是零-1>0吗啊，这样一说我就秒懂了呀。
对啊，所以虚数是不能够规定它的大小，那么其实呢，我们可以从另外一个角度去理解啊。
在引入虚数之前，人们所认识的实数呢都是在一维数轴上的点，而维度那期节目当中我们也提到过。
在一维空间当中只存在前后两个方向，那么在数轴上，一个点移动到另外一个点，就只能够朝着数轴的正方向运动，或者朝着数轴的负方向运动。嗯，对不对？
前者他就是增大，后者就是减小。还记得那只一味毛毛虫啊。 记得那么在引入虚数的概念之后呢。
竖系就从一维的竖轴扩充到了二维的负平面。嗯，在二维平面上从一个点移动到另外一个点。
它可以有无数条路径，对不对，那么其实这就无法定义增大或者是减小了。
另外呢，有很重要的一点，简单的和大家先说一下，那就是引入虚数之后某些函数，它在实数范围内没有的性质就会出现。嗯，看来引入虚数之后，不仅仅是壮大了数字佳作，还拓展了函数的性质啊。
可是到目前为止，你介绍的虚数好像都是在玩这个数字游戏啊，那它究竟有什么实用价值呢？
要说实用价值呢？其实最主要的是体现在了工程方面，那么基于虚数的这种旋转因子的思想。
那就会带来一个非常重要的方法叫。
对称分量法，那这是电工当中分析对称系统不对称运行状态的一种基本方法。
另外呢，积分变换的方法也是以复数为基础的，突然之间听懂了啊，积分变换用积分换什么东西。
呃，换就紫菱的签名照啊。可以呀，当然不是这个积分啊。 积分变化呢就是通过变量积分，将一个已知函数变为另外一个函数。
他在数学理论或者是应用当中呢，是一种非常有用的工具，那么最重要的积分变换就有复利液变换。
还有拉普拉斯变换。嗯，其实在信号分析当中呢，就是利用复利液变换将实信号表示成一系列的正弦函数的和而政贤函数呢，是被充分研究而相对简单的函数。
这个没问题，高中的时候就已经充分做过相关的训练了啊。
那么，电路分析当中引入电容？
电感与频率有关的虚步就可以方便地将电压电流的关系用简单的线性方程表示并且求解。另外呢，富利业变换在物理学，数论组合，数学概率，统计密码学，升学，光学等领域，其实都有了非常广泛的运用。 可以说，我们现在能够在这里给大家做节目，你在家里能够看电视上网都要感谢这个世子。
富立业虽然也姓富啊，但他不是我本家，他是法国人哦。
前面说了，那么那么那么多，我并不是所有的都听懂了，但是这些在我们的生活当中一直是在被运用着的。
对，这其实就是虚数，或者说是复数，它最重要的意义其实是一直在用，而且解决了非常多的实用问题啊。
那么，在大量的实际问题当中，描述他们的数学模型呢，往往是各个变量变化率之间的关系，也就是微分方程，比如说速度，它就是位置随时间的变化率。
电流是电荷量，随时间的变化率等等。
求解微分方程，它是非常繁琐的一个过程，还需要考虑初始条件等因素。
那么使用拉普拉斯变换呢就可以将常微分方程转化为代数方程来求解。
而更为神奇的就是他能够自动计入初始条件。 拉普拉斯变换是富利业变换的推广福利业变化呢，可以看作是虚轴上的拉普拉斯变换哦，催眠力气啊，今天已经不知道晕了多少次。
说说叙述在其他方面的应用吧。对，这个其实我觉得这是今天想带给大家的一个非常重要的思想啊，就是说。
前面说到了很多，其实是我们说方法上的问题。我们用叙述能够解决很多实际的问题，但是叙述在这个宇宙当中，它是不是一个存在的概念呢？
这个很有意思。嗯，有很多的物理理论，它是不需要虚数的。最经典的艾萨克，牛顿，它所建立的牛顿力学和詹姆斯，麦克斯韦集大成的电磁学。
直到十九世纪所形成的所有的物理学理论，它其实全部都不需要复数或者是虚数。这里的复数重复的复啊。
那么只在实数范围内就能够搞定一切。而爱因斯坦的相对论在使用了虚数以后，的确是变得更容易被人理解。但。
这并不是这个理论本身非要使用叙述不可爱因斯坦在1915年到1916年发表的广义相对论也是如此。即使没有叙述理论仍然成立到这里。其实虚数并没有参与到物理当中。 嗯，只是说它可以给物理提供了一种比较好的理解方法。
但是进入到20世纪之后是出现了，终于必须要使用叙述的物理理论，那就是量子力学。 我知道有很多朋友想听这个选题，已经想听了很久了啊，今天有限度的和大家先说一点儿。
因为今天的主题是叙述量子力学，它的一个重要的基本方程就是奥地利物理学家薛定谔所建立的薛定谔方程，而这个方程的开头就有一个虚数单位爱哦。这是一个描述物理世界现象的方程，他竟然用到了一个虚设的单位。 那么，根据量子力学在没有进行观测的时候，单个电子所在的位置是不确定的，这就是经典的不确定性原理。但是通过计算。
我们就可以知道有什么位置容易发现这个电子。这种概率分布呢是具有负数值的波函数，严格的来说应该是波函数绝对值的平方。
来表示利用量子力学的基本方程薛定谔方程呢，就可以求出波函数随时间的变化，这个方程当中，这个非常显眼的叙述单位爱其实就反映了这个客观世界的一些有意思的情况。嗯，事实上呢，量子力学可以说是一个没有虚数或负数就不能够成立的物理理论。
量子力学当中的理论是见机于富庶，遇上无限维的希尔伯特空间。 那么其实还有很多的例子啊，比如说一些分型。
比如朱莉亚级，它就是建立于复平面上的点。
那么，我们前面其实提到相对论，如果将时间变量视为虚数的话，便可以化简一些狭义和广义相对论当中的时空度量方程。
实际上呢，明可夫斯基空间就是利用真空光速乘以时间，再乘以虚数单位来描述第四个维度的等等等等，诸如此类吧。所以这么看来，虚数在物理学上应用的还是非常的广泛的。对啊，其实这里呢可以带出一个很有意思的思想，就是数学，它其实一直走在了物理的前面。先是数学发现了一个方法物理，它是为了探究这个世界的本质，世界本质的道理。
那么数学家找到了这样一种方法，或者说拓展了一个概念以后。
可能一时半会儿找不到在这个现实世界当中这样子的一种算法，这样的一个概念到底有什么用？
但是随着物理学的发展，就会发现诶数学家在之前找到的这种方法，他就可以描述客观世界的一些现象。嗯，那当然再展开。就是说，物理学其实现在一定程度上是走在了哲学的前面啊。
其实我们前面所说的这个复数是两个坐标的维度，我们可以看作是一个二元数。
就是把树从直线拓展到了二维，拓展到了一个平面上，实数我们可以理解为是一元数，那么其实数字家族还在继续的扩充。
在复数之后，其实还扩展出了比如四元数，八元数。嗯，你会发现其实上面四元还多了一些，我们已经开始无法想象和理解的轴了。
甚至是八元数，那么这些呢都是多元负数，但是数的这个维度拓展到这种程度之后呢，我们就必须抛弃乘法的交换规律了。考虑到大家的接受程度。
以及今天节目的篇幅，我们就先不展开了。嗯，原来是这样，就是这样感觉有点长舒一口气啊，就终于把这个嘛复杂的很多的公式啊很多的理论啊，说完了对吧。嗯，对。
那还是回回课，今天介绍叙述的这个最基本的思想是什么哦，我觉得是不是这样，就是说旋转就相当于乘以一个扶植为一的复数虚数i就是90度的一个旋转因子。 嗯，就是这个意思啊。其实最重要的一个概念，我觉得大家可以把。
虚数或者说i理解为一种旋转，哎，它就代表着逆时针旋转90度。
其实有了这样一个思想以后，我们就能够更好地去理解，叙述，或者说是复述这样一个概念了啊。
那么这里其实就要提到一点，大家会觉得可能听完今天的节目还是有点冰，尤其是后半部分非常高能的各种理论的部分啊。
特别晕对，但是我们凭什么说数字它就一定存在呢，一二三四五六七八九十。 嗯，这又上升到了另外一个高度，是吗？
是这样吧，大家可能会觉得相比于一二三四，五六，七八，九十-1-2-3-4夫夫六夫妻，甚至是派，甚至是根号。二虚数实在是太飘渺了。
嗯，太虚幻了，对，对吧？感觉它根本不应该存在，但是我们倒推一下，其实在早前大家会觉得复数<0的数是不可能存在的，嗯，它不该是存在的。
那么，再往前推，其实在我们人类还处在蒙昧时代的时候，数字它应不应该存在。
嗯，最初也没有哈对，其实没有数字这样的概念，它本身就是一个很抽象的概念。所以说我们去这样子理解这个世界的时候，我们就能够更好地去理解虚数的意义。
他也是描述这个世界行为的一种很基本的思想和方法。数学本身也是其实，因为今天的节目当中有太多太多的东西是我没有完全能够去理解的，但是站在我的角度去听这一期节目的话。
我会感觉以前在上数学课的时候，你觉得这只是一门学科，这些方程它只是一些方程式，但是你现在会发现数字的产生是为什么为了方便大家生活去计算啊，然后去记录一些生活当中的一些东西。
然后后面比如说你说到了？
在物理学当中，那些应用，所以这些虚数的出现，其实也是帮助我们去理解这个世界当中很多的运转是怎么一回事儿，对，对吧，工具一样对，所以为什么说数学它是一个很重要的工具呢。有了数学之后。
我们的现代世界很多，很多很多的事情才得以推动和运转。 其实熟悉徐东和紫陵的朋友一定知道啊。
我们今天的告诫，凭我们的能力是绝对完成不了的，因为它其实真的超高超到爆了，就是对有我们在大学阶段并没有学的高数的部分。
以及一些大学物理的东西啊，那我们今天再次要感谢一下，给我们提供这篇文案的小黑啊，谢谢小黑小黑其实是原样的一个忠实粉丝了啊，这个在我们还在说银河系的时候，我就知道他已经在听我们的节目。
哇塞这么厉害的人，这已经是他听我们的节目，会不会觉得太简？
但啊，他很认真的在听啊，而且特别喜欢这个节目啊，好谦虚哦想，嘿嘿，就是特别感动，有这样的这个听众也一直在帮我们的忙呢，他也是我们原样刀友会的一名黑洞啊，这黑洞就相当于是管理员啊，它是在原样刀友会的这个天狼群当中，大家想要去摩拜黑神有各种跟物理相关的跟高树相关的问题，也可以认给它。
他也非常的善于帮大家解答这些问题啊啊，总之，黑神是我的一个偶像的数学，实在是太好了。 哦，是吗？就是你是他的偶像，他也是你的偶像，你们互为偶像哇，用得着这样吗？
大家会发现今天的节目，其实在最后，我们提到了一部分量子的东西。其实大家如果说想要急着去听我们描述量子世界，我可以给大家描述一些现象，但如果大家要明白它真正的思想的话，还是得从数学开始。
这是离不开的，而量子其实跟虚数有着千丝万缕的关系啊。
说一下我们节目的广告啊，欢迎大家继续到我们的几个互动平台。
紫林的微博是嘿嘿，先说我的啊，紫凌铃，孩子的紫凌晨的铃。
嗯，现在都叫孩子的子了，原来是子时的子，我一直是这么说啊，有了孩子就是不一样。紫玲玲欢迎到那儿去围观这个辣妈以及辣妈的宝宝。嗯啊花花啊。
那么我的微博就是徐东东市上面山下面东还可以到我们的几个大家交流的平台，比如说百度贴吧，叙东刀科学或者原来是这样，其实也可以啊。另外呢，在微信公众号搜叙东刀科学，如果说大家想跟我们有更广泛的互动，或者说可以跟我们有一些直接的交流的。
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北极群也有将近800位，小伙伴在里边聊天了啊。欢迎大家跟我们交流，把你对节目的想法，或者说你对节目的文案有一些什么样的想法。你是一个某一知识领域的达人，就都可以参与到我们的节目当中。对，就是不只是可以来收听节目，大家也可以把你们所擅长的这部分的知识分享给更多的朋友。 对，那么原养，其实希望不是我们个人的节目，而是一个大家交流的平台啊。 好了，本周的，原来实际上就是这样，我是徐东，我是紫林。
代表本次节目的撰稿人小黑再一次感谢大家的收听，下周再见，拜拜。
可是是我们的健身几个瞬间，你知道吗？
哎哟啊。
+36，它的这个对角线的程度是不能够用整数或者是用两个整数之笔来表示的。 嗯，你应该知道这个答案是多少吧。
不吃？
另外呢，我们从亮钢的角度来看弧度，他是没有亮钢的，我觉得太难了，亮钢是什么呢，那么如果将x=2分之派代入，会得到什么可散引二分之派是零Sign，二分之派是一，所以e的二分之ipad次方就是虚数单位i。
那这和旋转又有什么关系呢，你们真的信了吗？
信我，这是我自己算出来的吗？
那么最重要的积分变换就有复利液变换，还有拉普拉斯变换。嗯，瞬间觉得我们像两个呃，理科生了啊嗯。
福利业变化说拉普拉斯变化是太洋气了。福利业变化，友情提示，这是一个额外额外的既是正天又是彩蛋的彩蛋，考虑到节目的完整性。
以及大部分听众对于公式和数学的接受程度，其实我们的正篇部分足足删去了十五分钟的内容。
那么在今天节目的结尾，我们就把这十五分钟完整的呈现给大家。
我们即将听到的第一段内容呢是出现在节目的第十八分40秒左右，在紫陵问虚数是不能比较大小的这个问题之前这一段有七分钟的时间。
哎，那回到之前的问题，哈虚数单位的引入是基于前面那个旋转，一个角度相当于乘以一个数的假设。
但是这是一个假设。哎，对，那这个假设真的成立吗？
这个假设它其实是成立的啊。
这里我们要友情提醒后边儿是涉及到大量的公式计算了啊，大家可以更多的来感受这个思想，如果说有兴趣的可以跟着一块儿来算啊啊。那么回到我们刚才提到的最重要的欧拉公式上，e的ix次方等于costa x，加上i乘以sign x。
这个公式呢可以用泰勒公式进行证明，那么如果将x四=2分之派代入，会得到什么呢？可萨影二分之派是零Sign，二分之派是一，所以e的二分之ipad次方就是虚数单位i。
根据剧本需要，我需要感叹一下子林同学，你的数学基础真心扎实啊，这不是为了节目需要强行提升了吗？嗯。
我懂的啊。那么平面上一个点绕原点旋转的过程，就是该点与原点的连线跟坐标轴夹角的改变的过程。
这个你能理解吗，平面上的一个点绕原点旋转的过程，我们就想一个最简单的就是中面这个中在走啊，他绕着中间那个原点旋转的这个过程是不是可以理解为这个点和原点的，这个连线就是中的这根指针。比如说我们和我理解了他的这个夹角在改变的过程，对并且e的ix次方和e的Iy次方相乘的结果，那就是e的i乘以x加y次方。
啊，也就是说当底数为亿的时候，指数上叙述单位i的系数就是那个旋转的弧度值咯，没错，就是这样，那其实呢，回到咱们中学里学的复数啊，都是表示成十步。
加上虚数单位爱乘以虚步的形式，对不对一个括号里边一个实数，然后后面一个虚数。
其实从欧拉公式当中我们就可以发现复数啊，它还可以表示成指数的形式，嗯，也就是说e的ix次方乘以a的形式。
这里的a呢就是负数的符值，那么这个扶植是什么意思呢？它代表的就是它在平面上对应的点和原点的连线程度。嗯，可以理解为中的这个指针的程度是啊，x？
就称为负数的扶脚，这个也很好理解，就是原点指向该负数对应的点，它的矢量方向与十轴正方向所成角的弧度啊，这个我记得啊，那么负数的幅值呢。
它是一个不<0的实数，而扶脚可以取一切实数，你发现嘛，到这儿跟虚数就没关系了。哎，这里注意啊。
符值的符是符度的符毛巾的筋，金字旁而辐角的辐呢是辐射的辐一个车子胖，对啊。
但是这样感觉也还是没有什么用啊，它具体的用处在哪儿呢？对于负数的加减运算而言，确实用实步和虚步的表示更加的简便。对这个其实大家在高中的时候学复述的时候做它的加减法算起来都很快，因为很简单。
两个负数的乘法运算结果，其实呢就是他们的扶植相乘扶脚相加，同样的两个负数的除法运算呢，就是他们的扶植相处。
五，扶脚相减其实更实用的就是体现在指数运算上一个负数的n次方的结果。
他的扶植为他自身扶植的n次方扶脚，为他自身扶脚的恩贝。
一个复数的n次，方根的结果，扶植为它自身扶植的n次方根扶脚为它自身扶脚的n分之一倍。
是不是算起来超easy，嗯，这也就得到了负数的平方根乃至多次方根的计算方法了，是不是的啊。
那么，你现在能否算一下叙述单位爱它的平方根是什么？紫林要开快咯啊。 叙述单位的i的扶持为一浮角，为90度及二分之派。
开平方就相当于1/2次方，那么结果的复制还是一扶脚就是四分之派，也就是二分之根号。二，加上i乘以二分之根号二嗯，开挂之后，紫林同学的计算能力真的暴贬。
但是你有没有发现你刚才得到了这个结果，诚意-1，它的平方也是叙述单位爱呢啊，对啊，因为-1的平方就是一呀。
那漏掉的那个根是怎么出现的呢？嗯，其实你忽略了一点呢，就是正弦函数和余弦函数都是以二派为周期的，也就是说e的ix次方语E的i乘以x+2派次方是相等的。
那么在对负数求n次方根的时候呢，就需要在扶脚上加上二k派，这个k呢是一个整数虚数单位爱的扶脚就是二分之派加二k派。
扶脚的一半就是四分之派，加k派当k是偶数的时候，就是你刚才得到的那个结果，而k是基数的时候，就是你刚才漏掉的那个结果了。哦，原来是这样，不得不说一下，我们俩其实都开了罐子。 那么，由于同一个负数的浮角可以相差二派的整数倍。
那么人们呢就将大于负派小于等于派的扶脚，直称为扶脚的主持。
而引入虚数之后，某些函数它在实数范围内没有的性质就会出现。比如说呢？
我们举两个例子啊，第一呢，就是正弦函数和余弦函数的绝对值，它不一定就小于=1了。嗯，利用欧拉公式呢就可以求得cocing x等于e的ix次方加上e的负ix次方再除以二。
那么赛音x等于e的ix次方减去e的负ix次方再除以二哀正弦函数和余弦函数的指数形式呢，是具有双曲函数的性质，这就将三角函数与双曲函数建立了一个联系，这样就可以求得什么呢，就是叙述单位爱的于贤=1+1/1。
再除以二，那么这是一个约等于1.543的实术。哦，太神奇了，虚数的鱼弦竟然是实术啊。对另外一个例子呢，就是非正数也可以进行对数运算了。
任何一个复数在表示为指数形式之后，很容易看出对他取自然对数的结果的十步，就是该负数的自然对数值。
虚步就是该负数的浮角。 复数的对数呢是一个多值函数，它的主值呢就是浮角区主值时的数值。
零的对数就是无穷大，有机会的话，我们还可以给大家再讲一下，无穷大，其实它也非常的神奇。
嗯，看来引入虚数之后，不仅仅是壮大了数字家族，还拓展了函数的性质啊。
而接下来大家听到的这一段呢，则是在22分40秒左右，当虚数无法比较大小，这个问题解释完了之后，我们又删去了八分多钟的内容，友情提醒这一段真心真心的高能嗯，看来引入虚数之后，不仅仅是壮大了数字佳作，还拓展了函数的性质啊。
可是到目前为止，你介绍的虚数好像都是在玩这个数字游戏啊，那它究竟有什么实用价值呢？嗯。
这个其实我们前面就说了啊，中学理学虚数的时候就提到了两个重要的虚数，你还记得是什么吗？一的地方干？对。
刚才说了嘛，对吧。那么一个是石树根，就是它本身还有两个虚数根1/-2加减i乘以二分之根号三，那么现在我们就可以知道两个虚数根呢。
分别就是120度旋转因子和240度宣传因子。
两者呢，都是对方的平方，那有什么用呢？这个其实大家可以画一画，我们就可以知道这个概念了，就是说一的立方根其实就是旋转三次的一个结果，如果大家听的还是有点儿晕的话，回到我们前面推海里的时候的那次旋转，我们想象一的立方根，其实他就旋转出了一个类似于奔驰的那个品牌logo的那个形象，一个人字形。
啊，对，这个还是得说一下后边儿比较高能啊，大家选择性收听啊，我们认取三个复数ab. C，现在呢，我们来计算三个星数。
首先把这个数相加之后除以三，也就是说取它的算术平均数，我们记为s零把B逆时针旋转120度C顺时针旋转120度，将这两个旋转后的结果和a相加，咱们再除以。
三得到的结果呢，即为s一。
我们再把b顺时针旋转120度C逆时针旋转120度，将两个旋转后的结果和a相加再除以三我们得到的结果呢，G为s二，然后呢，我们就让a零等于b零等于C零，等于s零a一等于s一B一为s一，顺时针旋转120度C一为s一逆时针旋转120度。
A二等于s二b二为S二逆时针旋转120度C二为s二，顺时针旋转120度。突然有一种下午在上数学课的感觉。
是不是觉得我想睡这没关系啊，数学基础好的朋友可以来听一下啊。那么这样呢，我们其实就得到了三组复数a一顺势征旋转120度就得到了B一b一顺时针旋转120度，就得到了c一C一顺时针旋转120度又得到了A一a二逆水蒸旋转，120度得到b二。
B二逆势侦询专120度得到c二C二逆时针旋转120度又得到了A二哎转转转又转回去了啊。而a零b零和c零是三个相等的负数，而且有A等于a1加a2加a零B等于b1加b2加b零和c等于c1加c2加c零，那这就是以a为基准的对称分量法展开。
A一b一和c一称为正序分量A二，b二和c二称为复序分量a零B零和c零称为零序分量。是不是觉得赢高大上道不行了啊，请自己没有学高数啊，竟然用到了分量啊。
那么，对称分量法呢，其实是电工当中分析对称系统不对称运行状态的一种基本方法。另外呢？
积分变换的方法也是以复数为基础的。哇，突然之间听懂了啊，积分变换用积分换什么东西。
呃，换就紫菱的签名照啊。可以呀，当然不是这个积分啊。 积分变化呢就是通过变量积分将一个已知函数变为另外一个函数。
他在数学理论或者是应用当中呢，是一种非常有用的工具，那么最重要的积分变换就有复利液变换。
还有拉普拉斯变换，拉普拉斯变换是富利业变换的推广福利业变换呢，可以看作是虚轴上的拉普拉斯变换。
另外呢，当一个信号通过一个线性系统的时候，系统输出的信号是输入信号与系统特性函数的卷积卷积卷鸡是什么，我只知道鸡衣卷鸡肉卷好像关系不是特别大啊，即使这个积分的积啊啊呃。卷积呢可以看作是一个函数逐步与另外一个函数发生作用的过程。
其实这个名字就起得很形象，你可以理解吗，就逐步逐步发生一些影响卷在一块儿了，你可以这样子去理解啊。
那么卷积呢？它的计算非常非常的繁琐，但是两个函数卷积的拉普拉斯变换，就等于这两个函数的拉普拉斯变换的乘机。
这样一来呢，使用拉普达斯变化也可以直接的将卷积运算变成乘法运算。 哇，这么霸气对就特别高冷的东西，变成中学生都能够使用掌握的东西。
那么，在系统分析当中呢，系统常常通过拉普拉斯变换，从食欲变换到频率，因此呢，它可以在复平面上分析系统的极点。
这个极点呢就是系统传递函数为无穷大的点，还有零点，那就是系统传递函数为零的点。
那么所谓的传递函数呢就是输出信号的拉普拉斯变换和输入信号的拉普拉斯变换的比值，也就是刚才所说的系统特性函数的拉普拉斯变换分析系统稳定性的几种方法呢，都是在复评院上进行的。所谓的稳定性是指系统在输入信号为有限值的情况下，输出的信号仍然为有限值。 那么如果系统有几点位于右半平面，则系统不稳定？
所有几点都位于左半平面，则系统稳定，有几点位于虚轴上，则系统为临界稳定的，那么如果系统的全部零点都位于右半平面，那么则这是个最小相位系统。
如果系统的极点和零点关于虚轴对称，那这就是一个全通系统啊，催眠力气啊，今天已经不知道晕了多少次了。
好了，无论你听完这一段是睡着还是没睡着，总之祝你好梦了。