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121:比无穷大还大?!

读喜马拉雅作者:gezhong日期:4月前点击:128
∞,一个简单的符号;无穷大,一个不难理解却又难以想象的概念。人类对于“大数”的认识经历过怎样的过程?你知道吗?不可思议其实也是一个基数词!历史上出现过的最大的“计数单位”又有多大?当我们熟悉的数学运算进入到无穷大的世界时,一切会变成怎样?为什么说,无穷大和无穷大之间也是能够比较大小的?听这期节目的时候,请放下那些思考有限数的成见,静静感受“无穷之美”!

121:比无穷大还大?!

原来是这小男生,这羊是这是什么女的点的样子啊,原来是这样的,欢迎来到原来是这样,各位好,我是徐东,我是姜文。

嗯嗯,在原样的听众反馈当中呢,我常常会看到这样的评论,那就是啊,宇宙真的是大到无法想象。

知识真的是无穷无尽开药。

嗯,许懂你的脑洞真的是无限大,但事实上呢,这些无法想象,无穷无尽,无限大,似乎依然都有它的镜头。

当然呢,我说的是数字意义上的镜头,比如说有一个概念叫做谷歌耳。嗯,至少宇宙间的任何一个量呢似乎都未能超过它。

这是一个数啊,这个数呢就是10^100,这其实是非常非常可怕的一个数字,好像挺大的。嗯。

但是我们今天要讨论的这个概念呢,其实要比谷歌而宏大的多得多得多。而这个概念呢,可以说不难理解,却又难以想象,那便是无穷大,我知道是那个倒下来的疤,是吗?没错,所以今天呢,我们就会和大家来聊聊。

比无穷大还大的。

无穷大好大,说到无穷大在,你的心目当中是什么样的呢?

哎,这让我想到一首歌的歌词,是吧?不要问我太阳有多高,对,我会告诉你我有多真,其实后面我不会唱,然后还有什么不要问我星星有几颗我会告诉你很多很多什么什么的,确实啊。

对于我们绝大多数的人来说,第一次听说无穷大这个词儿的时候,大约都是小的时候问爸爸妈妈天上的星星到底有几颗嗯。然后爸爸妈妈就会说,宝宝有无数颗呀,那时候我们就会很困惑。

无数它到底是多少呢,对呀?

我们总希望把它有限化。

我们总希望是一个很大很大的数字,但无数无穷大,它就是无数原样的老听众,应该都还记得啊,地球上肉眼可见的星星,其实是数的轻的游历南北半球经历春夏秋冬,视力极佳的你,无非也只能够数出差不多6974颗星星。

事实上呢,有科学家也计算过,可见宇宙的恒星总数大约呢是3*10^23科而已。我三后面23个零,这样一个数字。

旭东竟然用了而已。哇,今天节目的概念只大磕象而至。

其实呢,无穷这个概念也是随着人类的进步而不断变化的,即使在距离现在只有几百年前的古代。

人类的技术水平呢都还不是很高,那个时候其实用不上很大的数。

这个呢从古代各国所有的最大的数位表示符号呢就可以看出来啊。

比如说古罗马最大的数位表示符号呢,就是一个类似于英文字母m的罗马字母,这表示1000。嗯,如果表示2000呢,就写两个m,那么如果表示一万,那就烦了。

他就得写十个m,表示十万,那就得写100个m,这是罚钞呢?那他们这样用起来好麻烦呀。为什么没有人发明更大的这个数位的表示符号呢?其实这个问题呢就只能理解为当时的社会并不需要,或者说很少用到更大的数字。

那个时候生产力还比较匮乏嘛,包括人口也就那么点儿,它不需要太多,那也就没必要去发明这些新的技术方法。

值得一提的是啊,虽然说古希腊最大的数位表示符也只有万这个单位,但是呢,阿基米德在他的著作祭杀法,这个沙是十字旁一个少沙子的沙啊。

他当中呢就论述了一种技术方式,可以表达十分庞大的数字,具体方法呢,其实有点儿类似于我们现在所用的科学技术法。

首先呢,阿基米德是将古希腊最大的单位,也就是万这个单位作为起点,将万万作为第二阶单位,那么其实我们都知道,这就是我们现在所说的E这个单位了。然后呢,将第二阶单位也就是e的平方作为第三阶单位。

那么,将e^3作为第四阶单位,以此类推,以科学技术法来表示,就是第二阶单位就是10^8,第三阶单位就是十^8,那么第四阶U就是十^24了。

用这个方法呢,就能够很容易的表示出那些非常非常庞大的数字。 这个发明在现在看来觉得有些搞笑,因为他花了几页论文就来讨论如何写一个很大的数字,听上去挺无聊的。

但当时如果有菲尔兹奖,那么他的这篇论文估计就能够稳稳当当的把这个奖项给拿下了。嗯,虽然你现在只花了几分钟的时间就说完了,但是我觉得推算到当时应该是非常了不起的想法,当时的人甚至无法想象数字会有那么大。对,反正我们就中间人。

那古代中国人的技术水平怎么样呢?古代中国呢,确实也有很大的数次基数啊。

比如说我们常用的y,还有e这个呢,都是很早以前就有的基数词了,比如说东汉时期的树树记忆当中呢,就已经有基数一二三四五六七八九十百千万亿,照精该该是土字旁一个汗,还有姊这个字是一个和睦旁一个姊妹的姊的一半儿的一半儿对,还有正载,这一共有23个啊。那么其中呢,我们前面说到的这个万以前的基数词呢,都是十进制的。

而一开始呢,非常非常的大了啊。

一开始他就用万净值,也就是说万万为亿。

万艺为照,万照为精,依次类推。

而最大的载这个基数词呢,就是已经开始表示10^44了,我感觉我们现在也用不到这么大呀。现在其实我们几乎都不会去用正载这样子量级的数词啊,那这比古代西方的好像甩了好几个星系了呀。 你用星系还是一个比较准确的描述方法。

不过呢,很可惜啊,最能记述的民族倒还不是咱们中华民族,因为比起古代中国古印度。

他们对于数量级的创造啊,可以说是登峰造极,这还能到什么程度啊。

你有没有听说过不可思议这个词?

当然听说过啦。我虽然理科不好,但是文科还是很好的呀,但你一定不知道。不可思议,他其实也是一个表示数字的词啊,它是一个很大的数字,跟e什么的一样吗?它是由古印度传入中国的。

在中国呢,就表示实的64次方,哇,好大啊。

同时传入的还有,比如说恒河沙哈森之耐,由他分别呢,表示10^5,256次方和60次方。而这些数字在印度的佛经当中呢,都只不过是微不足道的小数而已。

摊对于树的这个想象真的是非常可怕啊。

比如说华言经当中就有这样一段话,一毛端处所有颤,其数无量不可说什么意思啊。 这里呢?并不是说这个数量是说不出来的,这里的不可说,其实也是一个数量。那么这到底有多大呢?

按照华颜经当中的记载来计算这个数字,甚至连。

印度人自己发明的科学技术法都没有办法表达出,因为它实在太大了,必须将科学技术法里面表示次方数的这个数字也用科学技术法来表示才行。

我有点晕了,那么这样表示这个数字呢是十的3.7*10^37的次方。 嗯,听的真的是很晕啊,你写下来呢,也不会感觉它有多大。

那么如果用咱们一般的方法来表示,就是这个数字是一,后面跟上多少多少个零,那就是一。后面跟上了3.7*10^37个零。

有人就计算过了。如果说用a四纸来写这个数字,即便是每张纸显1000个零。

那么,这一本书装订完呢,也会比太阳的质量重上几十倍。

我的天呐,这是玩啥呢?这真正的天文数字啊,其实呢,说是天文数字,那真的是太抬举天文数字了。我刚才也提到那个古格尔的概念啊,基本上一个古格尔就能够包含所有天文需要用到的数字了。

那么它是10^100。我所以这里的比天文数字还要打得多得多得多,即使咱们要表示全宇宙所有原子的个数。嗯。

这已经很大了吧,这对数字也不过是用到10^73。

基本就够用圈宇宙啊。对古代印度的数学非常非常的发达,它不仅发明了人类沿用至今的阿拉伯数字,还发明了科学,技术法以及我们之前说到过的划时代意义的数字。零。

这些其实都是很重要的在数学上的创造对,那么这些发明呢刀的确适合印度的宗教传说和故事密不可分。 听你说了这么多大的数字,我觉得真的是闻所未闻。不过我还是觉得这样的数字应该只是传说中才用得到吧。你看我们一般生活当中感觉到了亿呀,万亿以上就很少了。 嗯,那倒是不错啊,毕竟咱们平时听到的大数字,尤其像姜文做财经节目的啊。

最多呢,也就是在说和货币有关的时候会使用。对一般来说呢,你要在口袋里装个一万块钱,已经挺土豪了啊。土豪,我们当朋友吧。

可是呢,在历史上的一些地方,一些时期你别说100000000。

出门没个几1000000000几百亿的,你都不好意思说话啊。这个是在那个纸币还不如厕纸之前的时期吧,就是在历史上出现过一些这样的严重通货膨胀,或者是货币超发的时期,的确是出现过一些类似的现象。

比如说在解放前夕啊,当时的这个国民党政府是已经发行过了6000000000元面额的纸币。

但是呢,它实际的购买力不过是几十粒大米而已。哎,我听说那时候出去买米是要扛一袋钱住一袋的一袋。嗯,是这样子买,甚至也买不了多少东西啊。 那么像南斯拉夫在1993年的时候就发行过面额,达到500000000000蒂纳尔的货币一张纸啊。500010000000战后的德国马g呢,其实也发行过非常大的面额,这个更大10000000000。

这是一张纸币的命,这是何苦啊。

然而呢,这些听上去已经足够夸张的货币,比起匈牙利,他曾经发行过的潘哥,真的都是小物件大物啊。 二战后期,匈牙利在1年零两个月的时间内,将纸币的面额从1000推到了一万。

意义,如果说咱们用科学技术法表示,那就已经是10^20了,还好战争及时结束了,否则呢,真的就得用科学技术法来表示面额,才能够印出这些货币了,一张纸可能都装不下。

哎呀,我的天好吧,看来关于这个大数字真的故事很多啊。

不过好像这些都只是大数字,还没有说到今天你要说的无穷大呀,那这个无穷大到底有多大呢?是比前面你说的不可思议的不可思议,次方还要大吗?嗯,咱们刚才其实已经说到了非常非常非常大的数字了,大到这个宇宙其实都用不到那样的数字。 对,但是无穷,它太不一样了,因为和无穷相比,我们前面提到的所有的数字它都太小了,无论多大的数字,它毕竟还是一个能数得出的数字,只要我们有足够的时间。

而我们要说的这个无穷大,他确确实实。

就是数也数不出来,说也说不出来的。比如说一条直线上点的个数,所有实数的个数X趋于零时一除以x的大小等等无穷大呢。它不是一个具体的数字,而是一个概念。

但他又并非虚无缥缈,他也可以进行运算,只是结果又和我们的直觉有很大的出入感觉我可以拉响前方高能预警了,进入到无穷呢。其实也希望大家能够抛开对之前我们所熟悉的有限数的一些习惯。

否则我们带着这样的成见去感受无穷,那会是不那么无穷的一件事儿,先别及时换节目,下面这段呢,其实倒也并不是特别难。

要说最早对无穷大的描述呢,还是回到古印度,他们其实描述过在公元前1200年至900年左右的时候。

印度的叶柔废陀其实就有过这样的描述,如果你从无限中移走或添加一部分?

剩下的还是无限,很有哲理啊。

那么这句话如果用数学语言来描述呢,就是无穷大等于无穷大,加上n或者无穷大等于无穷大乘以n。

我觉得我要听那些听到公式就晕的朋友,求一个更通俗易懂一点的说法啊。 要说有没有更通俗一点的说法,那的确有啊。那就必须得说德国数学家谢尔伯特的那个非常经典的关于无穷大的故事了。 他假设你来到一家旅店旅店的房间呢,已经满了,嗯?

这个时候你要住店,那么店主只能够很抱歉地对你说,对不起,所有的房间都已经满了,对不对?

嗯,对啊。可是如果同样的情景发生在一个有着无限个客房的旅店里呢,那都有无限多个客房了,旅店还能买。

因为无限多的客房里他住着无限多个客人吗?

感觉上是不是满了?对,还是满吧。

那么这个时候你还是要注点店主的回答就不一样了,想一想就会和你说没问题。 然后呢,他就把第一个客房的客人移到了第二个客房里。

第二个客房的客人移到了第三个客房里,一次类推呢,就把第一个客房给你腾出来了,你就可以住进去了,那他为啥不让我直接住到最后一个客房去呢?没有,最后啊啊,无限啊,无限的它是没有最后的这样啊,听上去好科学的样子啊。那么,要是再来无穷多的客人呢,还住得下吗?一个无穷大的旅店里住了无穷多个客人,对,对对,这个时候又来了无穷多个客人对咱们住的下吗?对。

照样住的下无非呢,就是把方法变一下啊。

怎么住呢,把一号客房里的客人?

一到二号房的二号房的客人呢,一到四号房里三号房的客人呢,一到六号房,也就是说每一个客人,他一到就比他现在住的这个房间大一倍的那个编号的房间里。嗯,照这个方法呢,其实就把所有的基数房间给腾出来了,对不对?

对,那这样又腾出了无穷多个房间给要搬进来的呢,无穷的个人了。 其实刚才说的这个故事,后面的这两种情况,对应的就分别是无穷大等于无穷大加上n以及无穷大等于无穷大乘上m。

这就是他的数学表达,我努力的试着去理解,但是真的有点困难,感觉好像从小学到现在数学都白上了,居然还有数字是加上或者乘以其他数字还是他自己的。

还是别忘了我们讨论它并不是一个具体的数,而是无穷大。他是一个非常非常纠集的概念啊,无穷大的性质呢,确实是有点儿反常识的,甚至可以说是不可思议的。但是呢,它又不代表着无穷大,就是不可捉摸和无意义的。

它有意义在数学上又非常的重要,比如说虽然无穷大,和任何数字比较,都是无意义的。

但是无穷大和无穷大之间又可以进行比较,而且是比较的出大小哎等等等等,既然都是无穷大了,那么就是最大的数字了,那还比个什么劲儿啊,不都一样大了吗?

而且就算想去比较,可是他们不是无穷无尽的盲目说不完呢,你说的没错啊,比如说有无数多个玻璃弹珠。

嗯,和无数多个烧饼,咱们放在一块儿。我们想要知道蛋珠的数量多还是烧饼的数量多,那一般人的做法无非就是先数一数蛋珠,有几个再数一数烧饼,有几个,那么这样就知道了。

对啊,当然呢,这是一种比较数量的方法,不过其实还有一种方法要更简单一些,这么数呢,相信姜文应该还记得前段时间阿尔法狗对李世石的比赛。嗯,下围棋啊,对。

那么,要比较双方的子谁更多,怎么比呢?

一种方法就是我们前面提过的先数一遍黑子,然后再数一遍白子,当然这行得通,可是呢,就有点儿费时费力,对不对?嗯。

那还有一种方法就相对聪明一些,那就是把黑子和白子依次摆开,然后呢,从旗堆当中以同等数目扫出黑漆和白漆。

嗯,对不对,嗯,并台之后扫出来,对,那么最后剩下的是黑旗还是白旗,我们就很容易。

知道到底是黑多还是白多了,对吧。对这种方法,哎,我们虽然没有办法知道黑旗和白旗的具体数量,但是我们却能够不必知道他们的具体数量,就知道他们数量的差值,这个都懂,但是和无穷大的比较又有什么关系呢?

这当然有关系了,因为你刚才也说了吗,无穷大的数根本就数不完,无法得出一个数字,不就没有办法按照第一种方法进行比较了吗。

那我们只能够用第二种方法,所以怎么比呢?

所以呢,比较无穷大的大小,咱们就只能够按照第二种,先让他们列队。

嗯,然后一个一个一个一个扫走,看剩下的是谁,那么谁就比另一个谁多了啊。对,你知道吗?对进行这种比较呢?我们只需要在比较的两组数字,或者说是其他元素之间建立某种对应关系,那就可以了,就像是黑子对白子,黑子对白子有没有具体的例子,一会儿会说啊。那么,如果第一组当中的每个元素都能够通过这个关系在第二组当中找到对应的元素。

且反之也成立,那么这两组无穷多的元素数量就相等,反之则不相等。嗯,这个大家可以理解。嗯,比如说,我们要比较所有的偶数和所有的基数数量谁多,那我们就可以建立这样一种对应关系,对不对?我们把一对应二三对应四对应六,这样呢?每个基数都有一个和他对得上的偶数。反过来,每个偶数也有对应的上等基数,从而我们也就比较了所有的基数和偶数的数量大小。

它们是相等的。对不对,对,但是我觉得需要你这样比较吗?我好像。

小学的时候就知道了,他们是一样多的,这不明摆着的吗?

很棒,但你请记住一个概念啊,我刚才其实提到过几次了,叫做一一对应,这非常的重要,我们再换一个啊,那就是所有的整数和所有的偶数相比,哪一组更多呢?嗯,应该是整数多吧,因为整数里面包含了所有的技术和偶数嘛,而且刚才已经证明了所有偶数就已经和基数一样多了,那现在再加上基数的数量,那肯定就是更多了,而且多了一倍。

对,对吧。嗯,有没有很严谨?

听上去是挺严谨的,而且确实也挺严谨。

不过你这个论证是在比较有限数量的情况下,我们现在是在无穷多个树的情况下,它完全不同。

事实上呢,所有的整数和所有的偶数,它的数量是相等等啊。不会吧,你别不服气啊。你看。

我们只要建立这样一种对应关系就可以了。嗯,一对应二二对应四三对应六。

每一个整数都对应于它的两倍,无论多大的整数或偶数,是不是总能够找到一个与之对应的另一半。

对啊,你无论举出多大的一个整数,都能够找到一个比他大一倍的偶数,是不是对反过来任何一个偶数都能够找到一个比他小一半的整数,对不对?嘿,所以他们是一一对应的。

这样呢,我们就得出了整数和偶数的一一对应关系。 哎,好神奇啊,好像爱真的是因为我们考虑的范畴是在无穷里。 嗯,那一切就变得不没有尽头,对。

既然是一一对应,那就表示所有整数的数量和所有偶数的数量,它是相等的,确实有点匪夷所思啊。

不过还是请记住我们在讨论无穷大,这种反常识和匪夷所思都是非常经常的事情。

我觉得这个真是颠覆了我数学的世界观啊,不只是匪夷所思了,作为一个没有学过高数的文科生啊。

大家不要嫌弃我,我真的觉得我整个数学观已经崩塌了。不过照你这样比较,究竟要怎样能无穷大才能够比其他无穷大更大呢?感觉就是这样比较下去不都一样大,因为都是无穷大是对啊。但事实上它还是有区别的。

有的无穷大,他就比另外的无穷大要来得更大。

我没有说风话啊,他就是这样。

关于无穷大,其实最奇怪的事情就在于不同的无穷大之间,它是有大小之分的。

咱们先别着急啊,先思考这样几个无穷大,然后呢,再听下去所有自然数的总数,嗯,所有分数的总数1267/3分之456都可以,还有所有的实数。

这个呢就包含了所有的有理数和所有的无理数的总数,应该都是无穷大队。

但是这几个无穷大他们是否相等,那不用着急回答,先想一想,哎,好困惑,感觉都是无穷大,但是似乎这些里面又差了好多,我就想哭了。

比较无穷。大的一种方法呢,就是判断无穷大的,结束阶梯的阶,这是一种在数学上的比较方法。

那如果说我们把数学语言说的稍微通俗一点呢,就是说,如果把两个无穷大来做除法,那么?

如果相处的结果仍然是无穷大,我们就可以说分子是分母的,高阶无穷的。如果结果是零,那么我们就说分子是分母的低阶无穷大,也可以讲分母是分子的高阶无穷达,那如果说相处的结果是一个不为零的有限值,那么就说分子是分母的。

同阶无穷大啊。特别的要说呢,如果这个有限值是一,我们就说分子和分母它是等价无穷大。哎,你看我脑袋上面?

看到金星了吗,金星,火星,水星都有啊,在这里怎么这么多名词啊,听着九云,但其实你应该能够感觉到吧,就是无穷大和无穷大之间是可以比较的,而且它是可以用数学方法来比较出来的。

嗯,好像有有一点这个概念,我们来举一个例子啊。其实我们比较的时候呢,往往是用函数的方式来比较的函数和函数之间做除法。

比如说有一个函数f一括号x,它等于x的平方和另外一个函数f二F二x,它等于x+1。

那么在x趋于无穷大的时候,Y的值呢都是趋于无穷大的。

但是呢,如果我们把这两个函数相处,也就是说当x趋于无穷大使一分之x+0,那么fx就趋向于无穷大了。

嗯,稍微有一点明白吧,就好像是说判断无穷大的大小,只要做个除法,然后比较一下他们的结束就行了。是这样的,对,因为无穷大,其实我们也可以把它用函数的方式来表达出来,那么函数和函数之间做一个除法,我们看它的这个结果就可以明白这个无穷大和另外一个无穷大之间谁大谁小,这有点儿抽象,因为数学很多时候都是很抽象的。 这句话呢,你刚刚说的是既对又不对,因为比较无穷。大的结束呢是适用于当自变量趋于某一个值的时候。

两个值为无穷大的函数之间的一种比较。

这种方法比较的呢,其实是函数趋于无穷,大的快慢快慢啊。哎,你可以想象一下,函数就是他趋向于无穷大,有的会更快。

意境无穷大,有的呢,会半一些得出的呢,是两个无穷大之间的相对大小。这也就是为什么我们前面只说了高阶低阶同阶,而没有提注入一阶二阶这样的说法。 按照你的意思,就是说比较无穷大,还有另外的方法。

是的,其实呢,我们前面也提到过,就是在比较整数和偶数的数量时所用的方法。

这种方法呢其实是集合论当中的方法所谓的集合呢,说白了就是一堆东西啊。

集合里的东西呢,叫做元素,两个有限的集合要比较他们的元素数量是多是少,这是很容易的,对不对。

但是对于无限的集合,就像前面说的要找到一一对应的关系,那如果我们找到了这种一一对应的关系。

我们就说这两个无穷集合包含的元素数量是相等的,而这个相等呢,其实有一个专业的名词,叫做等事仗势欺人的事,是啊,集合的事呢?

也可以称为集合的基数等式就是基数相等。

如果说存在从其中一个到另一个的双摄函数啊,用我们这个普通人的话说呢,就是存在一个一一对应的关系。

那么就称这两个集合的等式。嗯,除了我们刚才所讲到的整数集合与偶数集合的基数相等之外。

还有很多无穷集合,基数相等的例子,说出来呢,可能会颠覆很多人的世界观啊。那么接下来姜文也可以正式的拉响高能预警了,看要要高能了吗,比如说呢?

你刚才可能觉得已经有点高能了啊,你们接下来呢就更高能一些了。如果说这个数学基础不是特别好的朋友呢,其实感受一下他所提到的一些思想和概念就行。

那要不我先走了,你自己就吃呗,坚持下去啊。 那么首先要举的一个例子呢,是这样的,就是一条无限延伸的直线,上面的点和一条程度有限的线段,上面的点是一样多的。

嗯,因为无限大,那什么他是怎么理解的呢?

如果我们把那条无限延伸的直线想象成一条竖轴的话,嗯,对上面的每个点所对应的实数去欺负反正切值,那么呢,就等于是将这条数轴映射到了一条以原点为中心长度为派的线段上。

同样的道理,一个面积有限的平面上的点与一个无限大的平面上的点,它的数量也是相同的。

那是不是可以认为在无穷大的世界里,部分可能等于全部很不错的概括。嘿,可能有些朋友觉得这已经有点颠覆的了。

明显不一样呢,它会天赋半天相等呢。

其实呢,我们还有更颠覆的。

嗯,比如说一条直线上的点和一个平面上的点是一样多的啊。我记得之前讲维度的那期节目当中提到过,说平面是二维的,然后线段是一维的。

那多出来的那一个维度没有增加点的数量吗?

如果你这么认为的话呢,说明你的思路还停留在刚才说的那个无穷大的结束上面平面上的一个点,它的这个坐标呢是由两个实数组成的。

那么,从结束来讲,在两个维度上都无限延伸的平面上的点的数量确实是直线上的,贬的数量的高阶无穷大,其实很好理解嘛,就是直线和平面的一个对应关系,其实它的这个无穷大的相比应该也是无穷大的,无穷大,但是无穷集合的基数呢是从完全不同的角度来定义的,要判断两个无穷集合的基数是否相等,那么还是要看它能否建立一一对应的关系。

那平面上的点和直线上的点怎么对应呢?

假设啊,我们在零到一之间随便取一个数字,把小数部分的鸡藕味分开,任何取一个数字,把小数部分的机。

偶未分开,那就变成了两个数。

嗯,这两个数就对应于平面上的一个点的坐标。

对,比如说我们选啊,0.3675,那么它可以对应于平面上的横坐标为0.37纵坐标为0.65的点。

这样呢我们就可以证明平面上的点和直线上的点是一样多的啊,原来是这样。其实呢,无穷集合的基数呢是可以用一个数来表示的,是不是所有的自然数构成的集合?

简称自然数极,它的基数是什么呢?就是说自然数集当中它有多少个数。

嗯,是阿列弗陵。

诶,这是一个是一个数。

这个数呢写出来非常的奇怪啊。它是一个奇形怪状的符号啊,有一点儿像一个and。

但是呢,这个n又不是一个典型意义上的an,它的左下角有一扭右上角呢,像个小锤子啊啊,非常的奇怪,我觉得看着像刀塔的地图,是吗?有点儿这个意思啊。那它的这个来历呢,其实是希伯来字母表当中的第一个字母。

反正我们姑且就记住,有这样一个阿列夫这样的一个符号啊。

那么,所有的自然数构成的集合,它的这个基数,也就是它一共有多少个数是阿列夫林个数,这个奇形怪状的符号就是阿列夫。那么,如果说我们要说实数级,就是所有的实数。

刚才其实姜文也在心里默默的比较这两个数量有多有少,是不是那我先告诉大家,十数级的这个数量,其实是会比自然数级的这个基数的数量更大的。它呢,也有一个树叫阿列夫一,嗯?

但是无论是阿里弗林还是阿列夫,一都是无穷大的。

哎,同样是无穷大,那他们之间有什么区别和联系呢?

在这个之前呢,我们还得先回过头来和大家探讨一下有理数级的基数啊,有理数呢,可以看作是两个整数的商,对不对这个呢?其实如果大家用笔来写,就会很容易的能够看明白是怎么回事儿。我们可以先写出分子与分母之和为二的分数。

那么这样的分数它其实只有1/1,对不对?接下来呢,我们再写。

两者之和为三的分数,那分别就是2/1和1/2,再往下就是两者之和为四的了,那就是32/1分之二1/3,嗯啊,就我们就这样一直做下去,那你会发现其实这样子的一种写法,它是可数的,对不对?

我们可以一直这样子排列下去,而且我们这样一直一直一直做下去,我们是能够穷尽所有的组合的。

对我们就得到了一个无穷的分数数列,那么它就包含了全部的分数。

然后呢,这个分数数列旁边,如果说我们都标上一个整数。

是不是我们就得到了无穷分数与无穷整数的一一对应关系好像可数就意味着一是12/1是2/1三对应的是1/2对,以此类推下去。对,但是这跟基数又有什么关系?

有礼数呢?可以看作是两个整数的商。

那么从这个角度来看,有理数级的基数应该就是阿列夫零乘以阿列夫林而从建立的对应关系来看。

这个结果呢仍然是阿列弗利那整数和实数是存在一一对应的关系的吗?

然而呢,我们却没有办法来建立整数和实数之间的一一对应关系。

所以呢,整数级和十数级他就是不等式的,这两个无穷它是不一样的。前面说到的有理数和整数之间的无穷,它是一样的。

而十数级的基数呢是要大于整数级的技术的。 哎,我不服啊,我觉得我现在想不出来的这种一一对应的关系。

不过我觉得说不定我以后我想出来的,或者根本就没有人想得出来。

我知道你的意思,就是说,因为实数里边包含五理数啊,就类似于根号二派这样的东西。

但是我们总能列出来,是不是对如果把各种各样的后边无限随机排列的这样子的一个一个无理数列出来,我们总能够用一个自然数,或者说一个整数去跟他一一对应。

但事实上呢,并不是这样啊。 我们就假设真的有一个人号称他建立出了一个实数和整数的对应关系,并且建立了一张对应表。

虽然这张表咱们怎么看都是无限的,好像任何一个实数迟早都会在这张表当中出现。

对,然而我们又很容易地写出一个新的实数,他不在那张表当中拼也对怎么写呢?方法就是我们写的这个数字的第一位小数不同于表中的第一个数字的第一位小数,然后它的第二位小数又不同于表中的第二个数的第二位小数依次类推。

我们新写出来的这个数,在这张表中又是无论如何都找不到的。

因为这样的写法可以保证我们写出来的这个数和这表当中出现过的任何的数字都不一样,都不一样。

所以这两个无穷,虽然它都是无穷的,但事实上呢,一个无穷又比另外一个无穷包含了更多。嗯,太难了,也有点难,咱们具象一点就好比呢。

两个同心圆小园内是不是有无穷个点对大园内?

他也有无穷的点,对不对对,但是呢,大园内所包含的点似乎又明显的多于小园内的。

哎,这个好像是的,而且的话,大园内包含的一部分的点是小园,它不包含的。嗯,好像是,所以你得到了什么样的感受,我觉得就是在无穷大的世界里啊。我们好像要抛弃很多常识性的观念。

是啊,怎么说呢,就是说人类的大脑啊,很愿意去处理有限数,今天这个感觉格外明显。对,可是一旦碰到无穷这个概念。

发生的一切就开始变得完全违背我们的直觉了。

嗯,也许呢,是因为我们的大脑并不喜欢处理高维度的信息,但至少我们处理低维度信息的能力还凑合人类的大脑,很愿意去处理有限数。可是一旦碰到无穷这个概念发生的一切就开始变得完全违背我们的直觉。这让我们非常的痛苦理解了有限数,我们也无法理解无穷。 就好像我们能够理解三维的形状,但不一定能够理解四维的形状。

我们只能够用三维的方式去感受。

没错,在这个和我们现实世界的真实完全不再有半点联系的无穷世界里呢。

这个时候,我们只能够依靠数学的逻辑,而数学逻辑又是指路的。

唯一向导他说的有些抽象,数学好伟大啊。

怎么说呢,再换一个比喻啊,就是说不依靠直觉去解决数学问题,就好像是乘坐潜水艇在深海下航行,因为在深深的海底,除了一些会发光的生物之外,它是漆黑一片的。

这个时候呢,我们可以理解成现实世界已经消失,进入了一种纯粹的抽象思维。世界在潜水艇里横行,我们只能够完全依靠仪器的独树。

同样,面对无穷的时候,我们也只能够用数学结果来领路。如果说我们能够保持一丝不苟的严谨精神。

对每一步进行验证,确信从各种数学工具当中推出的结论,那一切还是能够迎刃而解的。

这就是数学思维。

原来是这样,就是这样,谢谢你。 嗯,可以想象,姜文后半段的内心是崩溃的,就是很困啦。

其实前半段应该还行吧,对前半段我觉得还是可以理解的,然后有一些比较,嗯,实际,比如说你像说圆的时候你有可以想象的图的时候,我觉得也是可以理解的,但是一旦没有什么实际的例子就晕了,对这个其实就是我们的一个很常见的一种困惑嘛。我前面其实提到了,就是因为我们习惯于那些有限的东西。嗯,我们觉得这些东西总是有限的。所以当我们在想象无穷的时候,它都是非常困惑的。

包括我们拿无穷和无穷进行比较的时候。 但我们今天其实给大家带来了一个很重要的思想,就是无穷。

它其实是不同的,有更大概念的无穷。

有更小一点,概念的无穷。

我觉得主要就是帮助大家颠覆了一下数学观,以及让大家发现不起码让我发现就是你最后一段说的数学的逻辑其实很重要,对其实到了超出我们常人去理解的那些数它范畴的时候,真的数学工具,它就变得非常非常重要了。

而且他一定是建立在一些公理,或者是建立在一些这个推论的基础上,在进行发展,很多时候,它只能够在纸上帮助我们去感受这个世界。 嗯,是这样的,其实这就是说明数学他伟大的地方嘛。

就可能我们生活的这个宇宙本来就不存在更高的位置,或者说它可能存在非常非常多的维度,但我们感受不了,但是数学却能够帮助我们去对,我觉得解开了一个千年疑惑吧,就是我们上学的时候学数学,并不是说学到买菜就够了。嗯。

还是你最后那段说的,让我觉得数学真的很伟大,就是当现实世界已经消失的时候,进入纯粹的抽象思维世界的时候。

数学工具就可以引领我们有没有是当然,其实那么厉害的一篇文案,以我的数学能力是写不出来的啊。而且这篇文案其实是经了两个大神之手啊。 呃,第一位呢,我们先要感谢一下这篇文案的原作者是年华孟猝。

嗯,他其实是在当时我们做虚数那一期的时候就想到了。

这期文案因为估计作为理科生,对于无穷大这个概念还是非常的向往的。那么同时呢,碰巧也和我们的另外一位同学小黑同学啊,就是叙述那篇文案的作者。

他们想到一块儿去了小黑呢,其实当时也一直想写无穷大这个文案。所以呢,这篇文案其实它的前半部分和后半部分是经过他们两个共同主笔以及不断的完善和讨论才最终落成的。 即使是到我们今天录节目的前面两个小时。

这位年华梦苏同学其实还通过Qq的方式和我说,我们又讨论了一下,觉得有一些东西可能还是需要修改。

这其实也反映出了理工科学生的一种非常。

质朴的啊,非常可爱的地方吧。我特别好奇,这两位是干什么的,学什么的啊,学的都是理科。

然后都非常的厉害啊,太厉害。嗯,这里其实还是要说一下,小黑也很可爱啊。小黑在完善这篇文案的同时,还顺便把跟无穷大有关的一些比较好玩儿的事儿,以及一些常见的误会整理成了两篇图文推送。所以说在这个周六的时候,大家就可以看到和这期节目相关的一些。

包括可能在听的时候会有些不太能理解的一些公式,以及一些推演的方法,我们这次呢都会通过图文的形式来告诉大家哎,我觉得有图文的话好理解很多,也许大家如果听不懂可以试试看。第二天看了这个推送之后,然后再去听听看,包括其实刚才姜文可能在听到就是比较实数级大小的时候。

因为在蒙对后面,我其实用这个算的方法给你演示了一遍,你会发现简单很多,赫然开朗。对,那么这次呢,我们也争取给大家准备一些相关的视频来帮助大家去理解这样一个概念。如果说你还是不想理解,那么理解我们提到的那个思想。

就足够了。嗯,没错好了,那么今天的节目到这儿也差不多了,还是简单的安利一下我们的几个互动平台。

首先呢是微博啊。那么姜文的微博是乖乖猫仔军啊,军事细菌的军,那么徐东的微博呢就是徐东那么旭是九日啊,东是山东是这样的,旭东的微博一定要好好的介绍一下,因为有粉丝来给我留言说怎么也找不到徐东的微博。

我指引了一下他怎么找之后他还是找不到,所以是两个字,旭东旭是旭日东升的,旭东是上面一个山,下面一个东,没有其他的多余的自拔没有,然后是加v的,对吧?对对,就这样长就行了。所以有朋友我去搜了什么呢?不知道啊,他开始是说搜旭都搜不到,然后我指引他之后,他还是搜不到。 好吧,这说明我这名字是有多难写啊。那十大评搜原来是这样,估计也能够找到我啊。

那还要推荐大家关注我们的互动平台呢,就是旭东刀科学的微信订阅号。

刚才也说了,我们这周六的时候也会把这期节目涉及到的一些高冷的公式,一些有趣的算法啊以及推演的过程,会用图文的方式告诉大家。当然我们这期节目的背景音乐也会通过歌单的形式告诉大家,那么也感谢咱们图文组以及我们业主的努力啊。

还有怎么样参与到我们的节目的这个生产制作过程,或者说和我们能有更多的这个交流呢?

加qq群呀qq群其实也是现在非常的大啊,现在能加的是原样刀友会大角。嗯,其实搜原样刀友会这几个字,然后加上大角角是这个头上长鸡角的角,这是一颗星啊。

就可以加入我们了,是一个墨绿色的图片。为什么要强调优先群很多啊,大角现在已经有1300位导游了,哇也发展得很快。

对一个多月的时间啊,那欢迎大家常来坐坐,那么也可以在那儿捕捉野生的徐东和野生的姜文,嗯,等等等等呃,还有什么,还有我们的百度贴吧,对不对?对,对,许东到科学差不多就是这样几个平台了,那么也是希望大家能够通过各种渠道。

把你对节目的意见以及你的文案想法告诉我们,分享给大家。哎,今天是听众,明天就是主创了,是好了,那么本周的原来是这样,就是这样了,我是徐东,我是姜文代表本次节目的撰岛人,年华梦促和小黑,感谢各位的收听。

咱们下周再见,拜拜。

每次我坐在这里,想到收音机旁的你,总是觉得的很好奇。

不知道你现在在哪里,适合朋友快乐的聊天,还是偷偷伤心。

不过能在这无限大的世界,透过小小绿衣间和你相遇,对我来说却是一件非常非常非常非常重要的事情。有时候聊了你不太感兴趣的话题,有时候收到来信却没时间处理。

相信一定有些什么让你感受深刻,而我却从没想过,就像你现在听到的这首歌,它叫做世界无限大。

你愿意跟我说说你的世界里正在发生的事情吗,DVC那行吗。

所以今天呢我们就会到。所以今天呢我们就符合大家。所以今天呢,我们就会和大家来聊聊,无穷大还大的无穷大好大跟着变,今天你以为听到的是?

明天想想,也许真的真的说到无穷大在你的心目当中是什么样的,这首歌我不会唱,其实不太好哦,这个这个,这个是那个纸币还不如厕所的那个时期吗,厕纸什么什么要做节目要做唱片还要上无数的通告,让我也和大家一样想在忙里掏钱找朋友,分享快乐过时光。

下面大家即将听到的这段是原计划中。

作为结尾的部分,大家可以感受一下在本期节目的最后呢,我们可以和大家再分享几个无穷集合基数的基本定理啊,就是无穷集合这个基数。我们还是和大家说一说,就是别觉得是个专业名词。

其实就想象成无穷集合里当中有多少个数这样的一个概念,我们叫基数啊,它有几个基本的定理,首先呢,就是阿列夫林,他不小于任何一个自然数。

它是比任何自然数都大的一个数的概念。嗯,第二,阿利弗林呢,它是最小的,无穷集合的基数。

因为它是最简单的一种无穷。

基数小于阿列夫林的集合呢都是有限集合,第三点呢就是二的阿列夫零次方就等于阿列夫一二的阿列夫1次方就等于阿列夫二阿列夫,他也是可以开方的啊。

阿利弗二,它表示什么呢,它表示的是所有的曲线,或者说是所有可能出现的函数的数目。

这是一个非常非常可怕的所有。而到目前为止呢,还没有想出能用阿列夫三来表示的无穷大,它究竟意味着什么?

在无穷大当中,我们其实只推进到了二,还有一个就是非常非常经典的一个延展的东西了,叫做连续同假设。这个呢,也是数学界当中一直在争论和探索的一个领域。

那就是说,不存在介于阿列夫零和阿列夫一之间的基数,也就是没有所谓的阿里夫1.5阿列夫1.6,他不存在。 不知道大家听懂了没有,可是对我来说,反正明明都是中文,但是听起来好像在听外星语。

放心啊,今天的节目呢,终于是快收尾了啊,否则的话,估计到现在坚持下来的已经没有多少朋友了。对啊呃。

这个连续同假设呢,我们可以额外的再提一提啊。 目前的这个假设是没法在现有的数学框架下证明或证伪的。

那么换句话说,它与现有的数学体系框架不冲突,所以呢它有点儿类似于过直线外一点,有且只有一条线与已知直线平行这个公理一样。也就是说,如果你把它当作是成立的,那么它就是这一套数学框架的功力。

如果说你把它当作不成立,那它就是另一套数学框架,就是性格有不性格,它就是属于两个数学框架讨论的范畴了。

那还是回到我们刚才说的这个。如果说你承认过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,那么按照这个公理展开的几何呢。

就是欧式集合体系,那如果说你认为一条平行线他都做不出来,或者说能够做出无数条的平行线。

那这就是黎曼几何,或者是罗氏几何讨论的范围,他各自都有各自的一整套推理。 嗯,如果说你还没有睡着的话。

祝你好梦吧。

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